- L'axiome du choix est équivalent au premier énoncé.
Si
X est une famille non vide d'ensembles non vides, le produit
est
exactement l'ensemble des fonctions de choix de
X. Demander à ce qu'il soit non vide équivaut simplement à l'existence d'une fonction de choix !
- L'axiome du choix est équivalent au second énoncé.
Pour
X une famille non vide d'ensembles non vides, on note
Y la réunion disjointe des ensembles appartenant à
X. Il existe une surjection naturelle
Y → X qui à un élément de
Y associe l'unique ensemble de
X auquel il appartient. Réciproquement, si
s : Y → X est une surjection, alors
X est en bijection avec
{s -1 (x),x ∈ X } . Une fonction de choix de
X s'identifie avec une section de
s (inverse à droite).
- L'axiome du choix est équivalent au troisième énoncé.
Si
X est une famille non vide d'ensembles non vides, si
Y est la réunion disjointe des ensembles de
X, il existe une relation d'équivalence naturelle sur
Y : deux éléments sont dits équivalents s'ils appartiennent à un même ensemble de
X. Réciproquement, si
R est une relation d'équivalence sur un ensemble non vide
Y, l'ensemble
X des classes d'équivalence est une famille non vide d'ensembles non vides. Une fonction de choix de
X est exactement un choix d'un ensemble de représentants de
R.
- Le lemme de Zorn implique l'axiome du choix.
Soit
X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit
I l'ensemble des fonctions de choix
f pour une sous-famille
Y de
X. L'ensemble
I est non vide, car il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de
X. Cet ensemble est ordonné par le prolongement des applications.
I est un ensemble inductif. Si le lemme de Zorn est vérifié,
I admet un élément maximal, autrement dit une fonction de choix définie sur une sous-famille maximale
Y de
X. Si par l'absurde
Y était différent de
X, associer à un ensemble appartenant à
X-
Y un de ses éléments est toujours possible et permettrait de prolonger
f à une sous-famille strictement plus grande, ce qui contredit la maximalité. Donc,
Y=
X et
f est une fonction de choix pour
X.
- Le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix.
Soit
X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit
Y la réunion des ensembles appartenant à
X. Par le théorème de Zermelo,
Y peut être muni d'un bon ordre <. Tout ensemble de
X est une partie de
Y et on peut donc lui associer son minimum, élément de
X. On définit ainsi une fonction de choix pour
X.