Le calcul intégral est la deuxième des idées du
calcul infinitésimal.
Primitives
Soit
f une fonction définie sur un intervalle
I . Une fonction
F est
une primitive de
f sur l’intervalle
I si
F est dérivable sur
I et si pour tout
x de
I ,
F ' (x) = f (x) . Si
f est une fonction continue sur un intervalle
I , alors il existe au moins une fonction
F dérivable sur
I telle que
f soit la dérivée de
F sur
I .
F est alors une primitive de
f sur
I .
Par exemple, si f est définie sur R par f : x ↦ 6x, alors la fonction F définie sur R par F : x ↦ 3x 2 admet pour dérivée f , et donc F est une primitive de f sur R .
Si F est une primitive de f sur I , alors pour toute constante k , la fonction G définie sur R par G : x ↦ F (x) + k est aussi une primitive de f sur I car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle. Nous en déduisons que si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.
Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle
Deux primitives différentes d'une même fonction
f ne diffèrent que d'une constante. En effet si
F et
G sont deux primitives de
f alors
F ' = G ' = f donc
(F - G)' = 0 .
I étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe
C une constante définie sur telle que
F - G = C soit
F = G + C Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Si f admet une primitive F sur I , alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G de la forme :
G : I → R
x ↦ F (x) + k
où k est une constante réelle. On remarque que les primitives de la fonction nulle sont les fonctions constantes.
Soit I un intervalle, a un réel de I et b un réel quelconque. Il existe une et une seule primitive F , d’une fonction f continue sur I , telle que F (a) = b . F est appelée la primitive de f sur I vérifiant la condition initiale : F (a) = b .
Par exemple pour trouver la primitive de f (x) = 7x - 3 vérifiant la condition initiale F (1) = 1 .
On calcule d'abord la forme générale de la primitive .
Puis on résout l'équation et on obtient et donc la primitive recherchée est F (x) = | 7 –– 2 | x 2 -3x+ | 1 –– 2 |
.
Intégrale
Définition de l’intégrale à partir de la notion de primitive
Soit
f une fonction définie sur un intervalle
I et admettant des primitives sur
I . Soient
a et
b dans
I . Soit
F une primitive de
f sur
I . Nous appelons intégrale de
a à
b de
f , le nombre :
F (b) - F (a)
qui ne dépend pas du choix de la primitive de f , parce que les primitives de f sur l’intervalle I diffèrent d’une fonction constante. Nous notons ce nombre :
qui se lit « intégrale de a à b de f », et nous pouvons aussi le noter
a b
qui se lit « F . pris entre a . et b . »
Dans la notation avec le symbole de intégrale, t joue le rôle d’une variable muette, et nous avons
∫ | b a | f (t) dt = ∫ | b a | f (x) dx = … |
,
de plus le nombre représenté par cette intégrale ne dépend pas de
t .
Remarquons dans le cas où f est continue sur I , que l’application G définie sur I :
G : x ↦ ∫ | x a | f (t) dt = F (x)-F (a) |
n’est autre que la primitive de f qui s’annule en a et cette fonction G est donc la seule fonction dérivable sur I telle G ' = f et G (a) = 0 .
Nous avons donc
∫ | a a | f (t) dt = F (a)-F (a) = 0 |
Propriétés de l’intégrale
Linéarité de l'intégraleSi f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I et admettant des primitives sur I , alors la fonction f+g admet aussi des primitives sur I et pour tout a et tout b de I , on a :
∫ | b a | (f (t)+g (t)) dt = ∫ | b a | f (t) dt + ∫ | b a | g (t) dt |
De plus, si λ est un réel quelconque alors la fonction λ f admet des primitives sur I et :
∫ | b a | λ f (t) dt = λ ∫ | b a | f (t) dt |
Relation de Chasles
Soient a et b deux réels de l’intervalle I . Si f une fonction définie sur I et admettant des primitives sur I , alors pour tous a , b et c dans I
∫ | c a | f (x) dx = ∫ | b a | f (x) dx+ ∫ | c b | f (x) dx |
(relation de Chasles)
En effet si F est une primitive de f sur I alors :
F (b) - F (a) = (F (c) - F (a)) + (F (b) - F (c)) .
En prenant a = b dans la relation de Chasles, nous obtenons :
∫ | c a | f (x) dx = - ∫ | a c | f (x) dx |
en effet
0 = ∫ | a a | f (x) dx = ∫ | c a | f (x) dx+ ∫ | a c | f (x) dx |
Positivité de l’intégrale
Soit f une fonction définie sur l'intervalle I qui admet des primitives sur I , et si a et b sont deux réels dans I tels que a < b .
Si pour tout réel x de , f (x) ≥ 0 alors
En effet sous cette condition, toute primitive de f sur l’intervalle I est croissante.
Conséquences :
Croissance de l’intégrale
Si f et g admettent des primitives sur I et si pour tout x dans , f (x) ≤ g (x) alors
∫ | b a | f (x) dx ≤ ∫ | b a | g (x) dx |
(il suffit de poser h = g - f et d'utiliser la positivité et la linéarité de l’intégrale)
Inégalité de la moyenne
S’il existe m et M des réels tels que pour tout x dans , m ≤ f (x) ≤ M , alors
m (b-a) ≤ ∫ | b a | f (x) dx ≤ M (b-a) |
S’il existe un réel M tel que pour tout x dans , |f (x)| ≤ M , alors
| ∫ | b a | f (x)dx| ≤ M (b - a) |
S’il existe un réel M tel que pour tout x dans I , |f (x)| ≤ M , alors pour tout a et tout b dans I ,
| ∫ | b a | f (x)dx| ≤ M|b - a| |
Forme simple du premier théorème de la moyenne
Si f est continue sur I , alors pour tout a et tout b dans I , il existe un réel c compris entre a et b tel que :
∫ | b a | f (x)dx = f (c)(b - a) |
Valeur moyenne d'une fonction
Si f admet des primitives sur un intervalle I , si a et b sont dans I tels que a <<math>b\\,, nous appelons valeur moyenne de f sur , le nombre :
Parité
Soit f une fonction qui admet des primitives sur un intervalle I centré en 0. Si a est un réel, tel que a et -a appartiennent à I , alors:
- si f est paire,
∫ | a - a | f (x)dx = 2 ∫ | a 0 | f (x)dx |
- si f est impaire,
Intégrale et aire
Un cas particulier :
Soient a et b deux réels tels que a < b . Soit f une fonction constante sur et soit c tel que
- pour tout réel x de , f (x) =c
Alors l’intégrale de
a à
b de
f est égale à
c (b -
a) et représente l’aire algébrique du rectangle de sommets
(a, 0) ,
(b, 0) ,
(b, c) et
(a, c) .
Théorème :
Soient a et b deux réels tels que a < b . Soit f une fonction continue sur . Soit (x 0 , x 1 , …, x n ) une suite strictement croissante de points partageant le segment en n intervalles de longueur
Nous avons alors pour tout i compris entre 0 et n ,
Alors la somme
b-a ––––– n | n - 1 Σ i = 0 | f | ( | a+i | b-a ––––– n | ) |
tend vers lorsque n tend vers + ∞ .
Interprétation graphique :
Cette somme (appelée somme de Riemann) représente graphiquement la somme algébrique des aires des rectangles de gauche et est une valeur approchée de .
Si f est une fonction positive continue sur et si C est la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O ; i , j) , est la mesure de l’aire du plan délimité par C , l’axe des abscisses O x et les droites d’équations x =a et x =b . L’unité d’aire étant l’aire du rectangle O I K J .
Méthodes de calcul d'une intégrale
Calcul direct à l'aide des primitives usuelles
Intégration par parties
Théorème :
Soit I un intervalle. Soient f et g deux fonctions dérivables sur I telles que les fonctions f ' g et f g ' soient continues sur I . Soit a un réel dans I . Alors, pour tout réel x dans I
∫ | x a | f ′( t) g( t) dt = a x - ∫ | x a | f( t) g ′ ( t) dt |
En particulier :
Théorème :
Soient a et b deux réels tels que a < b . Soient f et g deux fonctions dérivables sur et telles que les fonctions f ' , g , f et g ' soient continues sur . Alors :
∫ | b a | f ′( t) g( t) dt = a b - ∫ | b a | f( t) g ′ ( t) dt |
On peut généraliser cette formule aux fonctions de classe C k + 1
∫ | b a | f k + 1 (x) g (x) dx = | | a b + (-1) k + 1 ∫ | b a | f (x) g k + 1 (x) dx |
Intégration par la méthode des résidus
Article détaillé : .Calcul numérique approché d'une intégrale
On considère ici le cas d'une fonction
f définie sur
. On définit le « pas » d'approximation
h de la manière suivante :
; où
n détermine la précision de l'approximation. On définit aussi
x i = a +ih .
Méthode des rectangles
La méthode des rectangles revient à une approximation de
f par une fonction en escalier, avec
n « marches » de longueur
h . La valeur approchée
R de l'intégrale vaut alors :
R = h | n - 1 Σ i = 0 | f (x i ) |
.
Méthode des trapèzes
Article détaillé : .On utilise une fonction continue affine par morceaux approchant la fonction à intégrer et égale à celle-ci sur les points de la subdivision en n sous-intervalles égaux de l'intervalle d'intégration pour obtenir une approximation de la valeur de son intégrale sur .
En remplaçant par des trapèzes les rectangles utilisés précédemment, on obtient :
.
On peut déterminer la précision de cette approximation en utilisant la formule suivante :
| I - R| ≤ | M (b - a) 3 –––––––––––––– 12n 2 |
où M est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 2 de f sur et I la valeur exacte de l'intégrale.
Méthode de Simpson
Article détaillé : .On utilise maintenant des paraboles que l'on fait passer par trois points consécutifs du découpage en 2n segments de l'intervalle d'intégration de f .
On s'appuie sur le résultat exact suivant où P est une fonction polynomiale de degré deux :
Si a , b et c sont trois réels tels que , alors
∫ | b a | P (x) dx = | (b-a) ––––––– 6 |
| | |
On obtient alors une valeur approchée de
I avec la formule suivante :
où et
On peut ici aussi déterminer la précision de la méthode, avec la formule suivante :
| I - R| ≤ | M (b - a) 5 –––––––––––––– 2880n 4 |
où M est la borne supérieure de la valeur absolue de la dérivée d'ordre 4 de f sur et I la valeur exacte de l'intégrale.
Méthode de Gauss-Legendre
Article détaillé : .On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire 〈 f|g 〉 = ∫ | +1 -1 | f (x)g (x) dx |
Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment
Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que
∫ | b a | f (x) dx = | (b-a) ––––––– 2 | ∫ | +1 -1 | f |
| | dx ≈ | b - a ––––––– 2 | n Σ k = 1 | {m(x k)} f | ( | b - a ––––––– 2 | x k + | b + a ––––––– 2 | ) |
|
où x k sont les racines du polynôme de Legendre de degré n
et où m(x k) sont les poids de ces racines, qui sont tels que l'égalité
| | dx = | n Σ k = 1 | {m(x k)f (x k )} |
|
est assurée pour toute fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à
2n-1 Les premiers polynômes sont
P 0 (x) = 1
P 1 (x) = x
P 2 (x) = 1-3x 2
...
Une excellente précision est garantie dès que n ≥ 3 . Des tables permettent d'obtenir les valeurs des points et leurs poids.
Exemple
Tableau des valeurs pour n = 3 | Numéro | Abscisse | Poids |
---|
1 | - | √ | ––––– 3/5 | = -0,774596669241483 | | |
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2 | 0 | |
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3 | √ | ––––– 3/5 | = +0,774596669241483 | | |
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Voir aussi