Le
carré d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même. L'opération inverse du carré est
la racine carrée.Exemples :
Généralités sur le carré
Quand on multiplie un nombre
au carré, on le multiplie par lui-même. Ainsi, les formes 12² et 12 x 12 sont équivalentes. Néanmoins on préfère la forme 12² autant que possible pour sa clarté et sa concision. Un carré est toujours positif pour tout nombre
réel.
Exemple : 12² = (-12)² = 12 x 12 = -12 x (-12) = 144
Attention ! -(12²) et (-12)² sont deux nombres différents. Le premier vaut -144 (on multiplie 12 par 12 puis par -1) et le deuxième 144 (le - est englobé dans la parenthèse).
La racine carrée
Comme on peut
élever un nombre au carré, on peut aussi faire l'opération inverse. Cela s'appelle la racine carrée d'un nombre. Soit a un nombre
positif, la racine carrée de a s'écrit :
Il est important de préciser que a doit être positif. En effet écrire
par exemple reviendrait à dire que a² < 0 ce qui n'est pas possible dans l'ensemble des
réels. Par contre, comme il est possible d'écrire -(12²) il est tout à fait possible d'écrire
Résoudre l'équation x²
a dans l'ensemble des réels ==
Premier cas : a < 0
Lorsque a est strictement inférieur à 0, cela revient à dire que x² est négatif. Or dans l'ensemble des réels, le carré d'un nombre n'est jamais négatif. Donc :
S = ∅ Deuxième cas : a
0 ===
Lorsque a vaut 0, une seule solution est possible : 0 (puisque zéro n'a pas de signe). Donc : S = {0}
Troisième cas : a > 0
Nous avons vu dans la partie précédente que 12² = (-12)² = 144. On peut réappliquer cette affirmation à l'équation x² = a. Ici l'équation a donc deux solutions :
Remarque : résoudre
Si a est strictement négatif, l'équation n'a pas de solution. Donc : S = ∅
Par contre si a ≥ 0 alors trouver x revient à multiplier a par lui-même, c'est-à-dire a².
Notes et références de l'article
Source principale de cet article : cours de mathématiques niveau 3ème/2nde
Voir aussi