En
Mathématiques, un
entier n est un
carré parfait (un
carré s'il n'y a pas ambiguïté) s'il existe un entier k tel que
n = k 2 ; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier. Par exemple, les entiers 0, 1, 4 ou encore 49 sont des carrés parfaits.
Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9.
Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les carrés parfaits. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 3 2 +4 2 = 5 2 , qui débute l'étude des triplets pythagoriciens.
On notera que depuis 1995, on est sûr grâce au théorème de Fermat-Wiles, qu'il n'y a que les carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. En effet, il n'y a aucune solution à a 3 + b 3 = c 3 avec a,b et c entiers.
La somme des premiers carrés parfaits est donnée par la formule remarquable suivante :
Σ
0 ≤ p ≤ n | p 2 = 0 2 +1 2 +2 2 +3 2 + …+n 2 = | n (n+1) (2n+1)
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6 |
| Liste des 10 premiers carrés parfaits | Puissances | Résultats |
|---|
| 0² | 0 |
| 1² | 1 |
| 2² | 4 |
| 3² | 9 |
| 4² | 16 |
| 5² | 25 |
| 6² | 36 |
| 7² | 49 |
| 8² | 64 |
| 9² | 81 |
Voir aussi
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