Soit
(G,*) un groupe, noté multiplicativement, de neutre e .
Définition
On appelle centre du groupe G l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres:
Z G = { z ∈ G / ∀ g ∈ G, g z = z g }
Z G est un Sous-groupe de G.
Propriétés
On montre que
Z G est un sous-groupe distingué,
Abélien.
Exemple
Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire:
Z G = G
Application
On considère l'automorphisme intérieur :
φ : G → Aut(G), g ↦ φ g
où φ g est l'automorphisme défini par:
φ g : G → G, h ↦ g h g -1
On a alors:
ker ( φ) = Z G
{Im} G = {Inn} (G)
Le sous-groupe {Inn} (G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.
On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :
G/Z(G) ≅ {Inn} (G) .
Voir aussi
Centre (algèbre)