Les
coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…
Définition
Coefficient binomial d'entiers
Le
coefficient binomial des
entiers naturels n et
k est noté
ou
C n k et vaut :
n (n -1)(n - 2) … (n - k +1)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
k! | = |
|
{
| ┌
| | displaystyle | n!
–––––––––––
k!(n-k)! |
| {si } k ∈ !] {(1)} |
└ | 0 | {sinon} |
|
Ici n ! désigne la Factorielle de n. On remarque qu'il existe deux notations : le coefficient binomial de n et k s'écrit
- C n k ou C (n,k) et se lit « combinaison de k parmi n » ou aussi « cnk »,
- ou bien et se lit « k parmi n ».
Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux :
| ( | n
k | | ) | + | | ( | n
k+1 | | ) | = | | ( | n+1
k+1 | | ) | {(2)} |
Elle donne lieu au Triangle de Pascal qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de n :
ligne 0 1
ligne 1 1 1
ligne 2 1 2 1
ligne 3 1 3 3 1
ligne 4 1 4 6 4 1
ligne 5 1 5 10 10 5 1
ligne 6 1 6 15 20 15 6 1
ligne 7 1 7 21 35 35 21 7 1
Les coefficients
figurent à la
n e ligne. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Cette méthode permet le calcul rapide des coefficients binomiaux sans
Division ni multiplication.
Note : pour k ∈ !], le coefficient binomial est un nombre entier.
Preuve
La
preuve de cette propriété se fait par induction :
- Pour n = 0, c'est évident.
- Supposons que c'est vrai pour n = m, (m ≥ 1) .
- Regardons ce qui se passe lorsque n = m + 1 :
- pour k = 1, … , m , la formule de Pascal {(2)} donne
on y voit que | ( | m+1
1 | | ) | , | | ( | m+1
2 | | ) | , … , | | ( | m+1
m | | ) |
sont des entiers étant chacun la somme de deux entiers,
alors que et .
- La propriété est donc vraie pour n = m + 1 , elle est par conséquent vraie pour tout n .
Généralisation aux nombres complexes
Pour tout
Nombre complexe z et tout
Entier naturel k, on définit le coefficient binomial
de la manière suivante :
| ( | z
k | | ) | = | z (z-1)(z-2) … (z-k+1)
––––––––––––––––––––––––––––––
k! | (3) |
Pour tout entier k, l'expression est un Polynôme en z de degré k à coefficients rationnels. Tout polynôme p(z) de degré d peut être écrit sous la forme
Utilisation des coefficients binomiaux
Développement du binôme de Newton
Article détaillé : . Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance
nieme de
x +
y :
| (x+y) n = | n
Σ
k = 0 | | ( | n
k | | ) | x n-k y k (4) |
Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :
(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 .
La formule du binôme généralisé permet d'étendre la formule précédente au cas où l'exposant n est négatif ou non entier, voire même complexe.
Combinatoire et statistique
Article détaillé : . Les coefficients binomiaux sont importants en
Combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de
Dénombrement :
- Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments est égal à . C'est également le nombre de listes de longueur n, constituées de 1 et de 0, et ayant k = 1 et n-k = 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des k-combinaisons sans répétition.
- Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à . C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
- En Probabilité et Statistique, les coefficients de binôme apparaissent dans la définition de la Loi binomiale .
- Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une Courbe de Bézier.
- d'un point de vue plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. Exemple: les quatre as d'un jeu de carte sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard. si l'on suit la formule il y en a six.
Pour s'en persuader, voici la liste des mains :
- as de coeur et as de carreau
- as de coeur et as de trèfle
- as de coeur et as de pique
- as de carreau et as de trèfle
- as de carreau et as de pique
- as de trèfle et as de pique
Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (« carreau - pique » est équivalent à « pique - carreau »).
Diviseurs et coefficients binomiaux
Les diviseurs premiers de
possèdent la propriété suivante : Si
p est un nombre premier et
p r est la plus grande puissance de
p qui divise
, alors
r est égal au nombre d'entiers naturels
j tels que la partie fractionnaire de
soit plus grande que la partie fractionnaire de
. C'est le nombre de retenues dans la soustraction de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en
base p.
En particulier, est toujours divisible par n/ {pgcd} (n,k) (pgcd signifie plus grand commun diviseur).
La règle permet de déterminer les qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre p = 2 et r ≥ 1. La soustraction de n par k nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de n, il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de k.
A l'inverse, est impair si, à chaque fois que k possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de n au même rang. On dit que k implique n. Par exemple, si n est de la forme 2 p -1, tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les seront impairs. Si n = 2 p , alors n possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls et sont impairs, tous les autres sont pairs.
Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux
Les formules suivantes peuvent être utiles :
-
| ( | n
k | | ) | = | n
––
k | | ( | n-1
k-1 | | ) | (k>0) |
et plus généralement
Ces deux formules se montrent facilement à partir de la définition (1).
En remplaçant dans (4) x = y = 1, on obtient
-
En dérivant (4), et en remplaçant x = y = 1, il vient
n
Σ
k = 1 | k | | ( | n
k | | ) | = n 2 n - 1 (8) |
En développant (x + y) n .(x + y) m = (x + y) m +n avec (4), on obtient l'identité de Vandermonde :
k
Σ
j = 0 | | ( | m
j | | ) | | ( | n
k-j | | ) | = | | ( | m+n
k | | ) |
et plus généralement k
Σ
j = 0 | | ( | z
j | | ) | | ( | z '
k-j | | ) | = | | ( | z+z '
k | | ) | (9) |
À partir du développement (9), en remplaçant m = k = n et en utilisant (5), on obtient
n
Σ
k = 0 | | ( | n
k | | ) | 2 = | | ( | 2n
n | | ) | (10) |
On a,
n
Σ
k = 0 | | ( | n-k
k | | ) | = F(n+1) (11) |
Ici, F(n+1) désigne le n+1 ième terme de la Suite de Fibonacci. Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).
Et enfin,
n
Σ
j = k | | ( | j
k | | ) | = | | ( | n+1
k+1 | | ) | (12) |
Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).
Voir aussi
-