En
Géométrie, une
droite projective est un
Espace projectif de
Dimension 1. Un
Espace vectoriel de dimension 2 y est associé.
Plus formellement, une droite projective sur un corps K, dénotée P 1 (K) peut être définie comme l'ensemble des sous-espaces à une dimension de l'espace vectoriel à 2 dimensions K 2 . On peut concevoir la droite projective comme la droite des K à laquelle on ajoute un point à l'infini.
La notion de droite projective se généralise pour les anneaux associatifs.
Coordonnées homogènes
En coordonnées homogènes, un point sur la droite projective
P 1 (K) est une paire de la forme:
où x 1 , x 2 ∈ K ne sont pas tous deux zéro. Deux telles paires sont dites égales si elles ne diffèrent que par un facteur non-nul λ:
= .
La droite des K est identifiée au sous-ensemble de P 1 (K) donné par:
{ ∈ P 1 (K) ∣ x ∈ K } .
Ce sous-ensemble couvre tous les points dans K, excepté le point à l'infini :
∞ = .
Exemples
Nombres réels
Si le corps K est l'ensemble des
nombres réels, alors la
droite projective réelle est obtenue en projetant les point de
R 2 sur le cercle unitaire et en posant comme égaux les points diamétralement opposés. En termes de théorie des groupes, ceci équivaut à prendre le quotient avec le
Sous-groupe { 1, -1 } .
En termes de Topologie, c'est un Cercle. On peut le concevoir en imaginant les + ∞ et -∞ des nombres réels collés ensemble pour ne former qu'un seul point à l'infini, ∞, dit point à l'infini dans la direction de la droite réelle. Le résulat est donc un cercle.
La droite projective réelle n'est pas équivalente à la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre + ∞ et -∞.
Nombres complexes
Si le corps K est l'ensemble des
nombres complexes, alors l'ajout d'un point à l'infini au plan complexe
C 2 résulte en un espace qui, topologiquement, est une
Sphère. La
droite projective complexe est aussi connue sous le nom de
Sphère de Riemann ou
sphère de Gauss.
C'est l'exemple le plus simple de Surface de Riemann. Ceci explique que la droite projective complexe est d'usage commun en Analyse complexe, en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes.
Corps finis
Si le corps K est
fini et a q éléments, alors la droite projective a
q+1
éléments. On peut écrire tous ses sous-corps, sauf un, sous la forme:
y = ax
où a ∈ K. Le cas restant est celui de la droite x = 0.