L' infini se définit par rapport au fini, mais le terme "fini" peut avoir plusieurs sens selon le contexte ; ainsi un segment de droite, limité en longueur, a un nombre infini de points.

Du point de vue de la théorie des ensembles, le fini se définit par un nombre d'éléments ; mais cela même demande à être clarifié : car, aussi inattendu que cela puisse paraïtre, il existe deux définitions très différentes de la finitude:

• Selon Dedekind, un ensemble E est fini exactement s'il n'existe aucun sous-ensemble propre B de E tel qu'on puisse définir une relation biunivoque entre E et B.
• Selon Tarski, un ensemble E est fini exactement si toute famille non vide B de sous-ensembles de E admet un élément Bo minimal pour l'inclusion.

Ces deux définitions ne sont équivalentes que grâce à l'axiome du choix ; sans cet axiome, la définition de Tarski est la plus forte, et correspond à la définition intuitive courante "est fini tout ce dont on peut compter les éléments", donc ce qu'on peut numéroter de 1 à un certain entier n ; cependant cette dernière définition de la finitude par une bijection sur un intervalle fermé d' entiers requiert soit l'existence de N donc l'Axiome de l'infini, soit une étape préalable de définition des entiers comme ordinaux dont chaque membre excepté 0 admet un prédécesseur.

Si  E est un ensemble infini alors card(E) ∉ N : le cardinal de E n'est pas un Entier naturel ; toutefois ceci présuppose que tout ensemble a un cardinal ; or cette affirmation repose sur l'axiome du choix.

La classe la plus simple des ensembles infinis est la classe des ensembles infinis dits dénombrables (équipotents à N). Une autre classe d'ensembles infinis est la classe des ensembles équipotents à R qui sont parfois appelés ensembles continus. Se pose alors le problème de l'hypothèse du continu : existe-t-il un ensemble dont le cardinal est strictement compris entre ℵ ₀ , qui est le cardinal de N et 2 ^{ℵ ₀} qui est le cardinal de R . Cette proposition est indécidable dans le système d'axiomes ZFC.

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Notes et références