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Espace précompact
Soit E un Espace métrique, E est dit précompact si ∀ ε > 0 on peut recouvrir E par un nombre fini de boules ouvertes de rayons ε . - Proposition 1 : Soit E un espace métrique compact, alors E est précompact.
- : Démonstration :
- : Soit ε > 0 , alors,
- : Comme une boule ouverte est un ouvert et que E est compact, on peut extraire de ce recouvrement de E par des ouverts un sous recouvrement fini, d'où le résultat.
- Proposition 2 : Soit E un espace métrique complet et précompact, alors E est compact.
- : Démonstration :
- : On va montrer que E vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass qui est équivalente à Borel-Lebesgue dans les espaces métriques.
- : Soit x une suite de E. Recouvrons E par un nombre fini n (0) de boules ouvertes de rayon 2 0 = 1 :
| E ⊂ | n ( 0 )
ᑌ
i = 1 | B (a i ,1) |
. - :Une de ces boules contient une infinité I (0) de termes de la suite, appelons-la B 0 .
- :Mais on peut aussi recouvrir E par un nombre n (1) de boules ouvertes de rayon 2 -1 .
- :Dans ce cas, il existe une boule B 1 , de rayon 2 -1 , contenant une partie infinie I (1) de I (0)
- :(si ce n'était le cas, toute boule B (a i ,2 -1 ) ne contiendrait qu'un nombre fini d'éléments de I (0), et donc E également, ce qui est absurde)
- :on peut itérer le procédé pour obtenir une suite décroissante de parties infinies et de diamètres tendant vers 0 (car majorés par 2 - k + 1 )
- :Ainsi, obtient une sous-suite de x, et qui est de Cauchy.
- :Par complétude, celle-ci converge dans E.
- : □
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