En géométrie la fibration de Hopf donne une partition de la sphère à 3-dimensions S ³ par des grands cercles. Plus précisément, elle définit une structure fibrée sur S ³. L'espace de base est la Sphère à 2-dimensions S ², la fibre modèle est un cercle S ¹. Ceci signifie notamment qu'il existe une application p de projection de S ³ sur S ², telle que les images réciproques de chaque point de S ² soient des cercles.

Cette structure a été découverte par Heinz Hopf en 1931. Cette fibration peut aussi être interprétée comme un fibré principal, de groupe structural le groupe S ¹ des complexes de module 1.

S ¹ → S ³ → S ²

Construction dans un plan complexe

La sphère S ³ peut être identifiée à l'ensemble des éléments (z₀, z₁) de C²]] qui vérifient |z₀|² + |z₁|² = 1. On fait agir sur ce sous-espace le groupe des complexes de module 1, par la formule

λ • (z ₀ ,z ₁ ) = ( λ z ₀ , λ z ₁ )

Les orbites sous cette action de groupe sont clairement des cercles. L'espace quotient est l'Espace projectif complexe CP¹, qui s'identifie à S ².

Pour construire une application de projection adaptée à ces notations, on peut introduire l'application de Hopf

p (z ₀ ,z ₁ ) = (|z ₀ | ² -|z ₁ | ² , 2z ₀ z ₁ ^* )

le premier élément du couple étant réel, le second complexe, on peut voir le résultat comme un point de R³. Si en outre |z₀|² + |z₁|² = 1, alors p (z₀, z₁) appartient à la sphère unité. Enfin, on observe que p (z₀, z₁) = p (z₂, z₃) si et seulement s'il existe λ de module 1 tel que (z₂, z₃) = (λz₀, λz₁).

La représentation ci-contre donne une idée de la disposition des fibres-cercles. Il s'agit d'une vue de la sphère S ³ par projection stéréographique. Cette vue remplit tout l'espace et le point diamétralement opposé au centre de la figure est le point à l'infini. Il convient donc d'ajouter aux cercles représentés d'autres cercles continuant à remplir l'espace et un axe perpendiculaire au plan de la photo, qui est le cercle passant par le point à l'infini.

Extension

Par le même procédé toute sphère de dimension impaire S ²ⁿ⁺¹ apparaît comme un espace fibré sur l'espace projectif CPⁿ, avec pour fibres des cercles. Il s'agit en fait d'une restriction du fibré tautologique sur CPⁿ : chaque fibre de ce dernier est une droite complexe, qu'on restreint en un cercle.