Un
filtre passe-haut est un filtre qui laisse passer les
hautes fréquences et qui atténue les
basses fréquences, c'est-à-dire les fréquences inférieures à la fréquence de coupure. Il pourrait également être appelé filtre coupe-bas. Le
filtre passe-haut est l'inverse du
Filtre passe-bas et ces deux filtres combinés forment un
Filtre passe-bande.
Le concept de filtre passe-haut est une transformation mathématique appliquée à des données (un signal). L'implémentation d'un filtre passe-haut peut se faire numériquement ou avec des composantes électroniques. Cette transformation a pour fonction d'atténuer les fréquences inférieures à sa fréquence de coupure f c et ce, dans le but de conserver uniquement les hautes fréquences. La fréquence de coupure du filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre : bloquant ou passant.
Filtre idéal
Un filtre idéal serait un filtre capable de couper très nettement à sa fréquence de coupure. Dans la réalité, un filtre possède sa fréquence de coupure au gain
Gmax -3 dB et ensuite ce gain décroît de -20 dB par décade (filtre de 1
er ordre).
Filtre passe-haut analogique
Un
filtre passe-haut peut être implémenté de façon analogique avec des composantes électroniques. Par conséquent, ce genre de filtre s'applique sur des signaux continus en temps réel. Les composantes et la configuration du circuit fixeront les différentes caractéristiques du filtre, telles que l'ordre, la fréquence de coupure et son
Diagramme de Bode. Les filtres analogiques classiques sont du premier ou du second ordre. Il existe plusieurs familles de filtres analogiques : Butterworth,
Tchebychev,
Bessel,
elliptique, etc. L'implémentation des filtres de même famille se fait généralement en utilisant la même configuration de circuit, et ceux-ci possèdent la même forme de fonction de transfert, mais ce sont les paramètres de celle-ci qui changent, donc la valeur des composantes du circuit électrique.
Filtre passe-haut du premier ordre
Un
filtre passe-haut du premier ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure
f c . La fonction de transfert du filtre est obtenue en dénormalisant le filtre passe-bas normalisé en substituant
ω n par
ω c / ω ce qui donne la fonction de transfert suivante :
| H (j ω) = | v o
–––
v i | = | Kj ( ω)/( ω c )
–––––––––––––––––––––
1+j ( ω)/( ω c ) |
où ω = 2 π f ω c = 2 π f c Le module et la phase de la fonction de transfert égalent à :
| |H ( ω)| = | | v o
–––
v i | | = | K ( ω)/( ω c )
––––––––––––––––––––––––––––––
√(1+ (( ω)/( ω c ) ) 2 ) |
| φ( ω) = arg H (j ω) = | π
––
2 | - arg | ( | 1+j | ω
–––
ω c | ) | = | π
––
2 | - arctan | ( | ω
–––
ω c | ) |
Il y a plusieurs méthodes pour implémenter ce filtre. Une réalisation active et réalisation passive sont ici présentées. À noter que K est le gain du filtre.
Circuit passif
La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un
Circuit RC. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'un condensateur de capacité C et d'une résistance R. Ces deux éléments sont placés en série avec la source
v i du signal. Le signal de sortie
v o est récupéré aux bornes de la résistance. Le circuit est identique à celui du
Filtre passe-bas mais les positions de la résistance et du condensateur sont inversées. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le circuit devient un simple
Diviseur de tension, et on obtient :
| H (j ω) = | v o
–––
v i | = | jRC ω
–––––––––
1+jRC ω |
Dans cette équation, j est un
Nombre complexe, la racine carrée de -1, et
ω est la pulsation du circuit ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d'un
Circuit RC est :
ou Ici ω c , la pulsation de coupure, est également la pulsation propre ω o du circuit, elle est également l'inverse de la constante de temps τ du circuit. Ainsi, on obtient bel et bien la fonction de transfert typique du filtre passe-bas du premier ordre.
On retrouve avec les grandeurs physiques observables utilisées dans les diagrammes de Bode :
| G dB ( ω) = 20 • log |H (j ω)| = -10 • log | ( | 1+ | { | ω c
–––
ω | } | 2 | ) |
| φ( ω) = arg H ( ω) = - arg | ( | 1+j | ω c
–––
ω | ) | = | π
––
2 | - arctan | ( | ω
–––
ω c | ) |
On distingue alors deux situations idéales :
| G dB~ -20 • log | ( | ω c
–––
ω | ) |
et φ~eq 90 (Le signal est filtré) G dB~eq 0 et φ~eq 0 (Le filtre est passant)On remarque que pour ω = ω c , on a G dB = -3 dB.
Applications
Un tel filtre peut être utilisé dans une
enceinte pour diriger les hautes fréquences vers un tweeter tout en bloquant les basses fréquences pouvant l'endommager. Les fréquences plus basses seront alors envoyées à un médium par l'intermédiare d'un filtre passe-bas.
Les filtres passe-haut et passe-bas sont aussi utilisés dans le Traitement d'images, afin de réaliser des transformations dans le domaine fréquentiel.
Voir aussi