Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu E et F .
Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de (E, E) dans (F, F) si l'Image réciproque de la tribu F est une sous-tribu de E .
Applications à valeurs réelles
Si F est l'
Ensemble des
réels et si
F est la
Tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur
(E, E) .
Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert est dans E .
Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives
Soit
E un espace mesurable et
(f n ) une suite de fonctions mesurable de
E dans
R + alors la fonction
f définie par
l'est également.
Démonstration: on considère pour cela l'image réciproque de ]a,+ ∞ est aussi mesurable. Les intervalles de la forme a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFDSi les fonctions fn de X dans R + sont toutes mesurables, la fonction inf fn l'est également, ainsi que les fonctions liminf fn, limsup fn.
En particulier, si la limite existe elle est mesurable.
Les démonstrations sont du même type.
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