Dans l'étude des fonctions numériques à valeurs dans R, les fonctions monotones tiennent une grande place. Ce sont les fonctions dont le sens de variation ne change pas. Une fonction monotone sur un intervalle I est une fonction qui reste croissante ou qui reste décroissante sur cet intervalle.

La représentation graphique d'une fonction monotone sur un Intervalle I est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas sous cette forme que la propriété de monotonie se révèle la plus intéressante. Une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la Relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux réels se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante , l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents.

Pour une fonction dérivable sur un intervalle I, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée.

Définitions

Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles, et définies sur des intervalles de R non réduits à un point.

Soient un intervalle I de R et une fonction f : I → R.

Monotonie au sens large

On dit que f est :

• croissante (ou : croissante au sens large) sur I si

pour tout couple (x ₁ , x ₂ ) d'éléments de I tels que x ₁ ≤ x ₂ , on a f (x ₁ ) ≤ f (x ₂ ) .

• décroissante (ou : décroissante au sens large) sur I si

pour tout couple (x ₁ , x ₂ ) d'éléments de I tels que x ₁ ≤ x ₂ , on a f (x ₁ ) ≥ f (x ₂ ) .

• monotone (ou : monotone au sens large) sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.

Étant donné un intervalle I ' inclus dans I, on dit que f est croissante (ou bien : décroissante, monotone) sur I ' si sa restriction à cet intervalle a la propriété en question.

Exemple : pour tout x ∈ R, notons ici E(x) la partie entière de x ; c'est l'unique entier k ∈ Z tel que k ≤ x < k + 1.

La fonction f : R → R, x ↦ E(x) est croissante sur R.

Mais elle n'est pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle , a ₁ ≤ x ≤ a ₂ donc par croissance de f, f (a ₁ ) ≤ f (x) ≤ f (a ₂ ) = f (a ₁ ), ou encore f (x) = f (a ₁ ), ce qui prouve que f est constante sur .

Propriétés

Propriétés élémentaires

Opérations algébriques

Soient deux fonctions croissantes sur I. Alors :

• leur somme est croissante
• si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant

(propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes).

Composition

Soient deux fonctions f : I → R et g : J → R, où I, J sont deux intervalles de R tels que f (I) ⊂ J ; on peut définir la fonction composée g ∘ f : I → R.

Si f est monotone sur I et g monotone sur J, alors g ∘ f est monotone sur I. Plus précisément :

• si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors g ∘ f est croissante.
• si l'une des deux fonctions f, g est croissante et l'autre décroissante, alors g ∘ f est décroissante

(propriété analogue pour les fonctions strictement monotones).

Injection

Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est à dire que tout élément de f (I) possède un unique antécédent.

Démonstration par l'absurde : supposons qu'un élément y de f (I) possède deux antécédents x ₁ < x ₂ . La propriété de monotonie stricte appliquée à cette inégalité conduit à dire que f (x ₁ ) < f (x ₂ ) si f est strictement croissante, ou que f (x ₁ ) > f (x ₂ ) si f est strictement décroissante. Affirmation en contradiction avec le fait que f (x ₁ ) = f (x ₂ ) = y . Tout élément y de f (I) possède donc moins de deux antécédents, comme il en possède au moins un, il possède un unique antécédent.

Cette propriété, associée au théorème des valeurs intermédiaires, se revèle utile pour la recherche du nombre de racines d'une fonction.

Propriétés relatives à la continuité et aux limites

Points de discontinuité

L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable).

Théorème de la limite monotone (pour les fonctions)

Soient ]a, ba, b ∩ I . Pour tout h ∈ R ^⋆ tel que x + h ∈ J _α ,

f (x + h) - f (x) ––––––––––––––––––––––– h

≥ 0

par croissance de f

(si h > 0 , le numérateur est positif ou nul, et si h < 0 , le numérateur est négatif ou nul).

On conclut que la dérivée f '(x) est positive ou nulle, car c'est la limite quand h → 0 du quotient précédent, à valeurs dans R ⁺ .

• Réciproquement, supposons que pour tout x ∈ I, f '(x) ≥ 0. Soit un couple (x ₁ , x ₂ ) d'éléments de I tels que x ₁ ≤ x ₂ : on va montrer que f (x ₁ ) ≤ f (x ₂ ).
  • C'est clair si x ₁ = x ₂ .
  • Si x ₁ < x ₂ , on peut appliquer à f le théorème des accroissements finis sur l'intervalle : il existe c ∈ ]x ₁ , x ₂ [ tel que f (x ₂ ) - f (x ₁ ) = (x ₂ - x ₁ ) f '(c) ; comme f '(c) ≥ 0 (par hypothèse) et que x ₂ - x ₁ > 0, on en déduit f (x ₂ ) - f (x ₁ ) ≥ 0, d'où la croissance de f sur I .
• On établit enfin la caractérisation, parmi les fonctions dérivables sur I , de celles qui sont strictement croissantes. D'après ce qu'on vient de prouver, une fonction dérivable est croissante sur I si et seulement si sa dérivée est à valeurs positives ou nulles ; parmi ces fonctions croissantes, celles qui ne le sont pas strictement sont celles pour lesquelles il existe un intervalle I ' inclus dans I, non réduit à un point, où elles sont constantes (cf. la remarque faite supra) ; autrement dit, ce sont celles pour lesquelles il existe un intervalle I ' inclus dans I, non réduit à un point, où leur dérivée est identiquement nulle : les autres sont les fonctions strictement croissantes.