En Mathématiques, les fonctions thêta sont des fonctions spéciales à plusieurs variables complexes. Elles sont importantes dans plusieurs domaines, incluant les théories des variétés abéliennes, les espaces modulaires, et les formes quadratiques. Elles ont aussi été appliquées à la théorie du Soliton. Lorsqu'elles ont été généralisées à une algèbre de Grassman, elles sont aussi apparues dans la théorie des champs quantiques, précisément dans la Théorie des cordes et des D-branes.

La forme la plus commune de la fonction thêta est celle qui apparaît dans la théorie des fonctions elliptiques. En respectant une de ses variables complexes (appelée par convention z), une fonction thêta possède une propriété exprimant son comportement respectant l'addition d'une période des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, bien que ceci n'est pas relié à l'usage de ce terme pour les systèmes dynamiques).

Fonction thêta de Jacobi

La fonction thêta de Jacobi est une fonction définie pour deux variables complexes z et τ , où z peut être n'importe quel Nombre complexe et τ est maintenu dans le demi-plan de Poincaré, ce qui veut dire qu'il a sa partie imaginaire positive. Elle est donnée par la formule

ϑ(z; τ) =

∞ Σ n =   -   ∞

exp ( π i n 2 τ + 2 π i n z)

Si τ est fixé, ceci devient une Série de Fourier pour une Fonction entière périodique de z, de période un; la fonction thêta satisfait l'identité

ϑ(z+1; τ) = ϑ(z; τ)

La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par τ et satisfait l'équation fonctionnelle

ϑ(z+a+b τ; τ) = exp(- π i b ² τ -2 π i b z) ϑ(z; τ)

où a et b sont des nombres entiers.

Fonctions auxiliaires

Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire

ϑ ₀₁ (z; τ) = ϑ(z+1/2; τ)

ϑ ₁₀ (z; τ) = exp( π i τ/4 + π i z) ϑ(z+ τ/2; τ)

ϑ ₁₁ (z; τ) = exp(( π i τ/4 + π i (z+1/2)) ϑ(z+( τ+1)/2; τ)

Cette notation suit celle de Riemann et de David Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en terme du nome q = exp( π τ) plutôt que τ , et thêta appelé θ ₃ , avec ϑ ₀₁ en terme de θ ₀ , ϑ ₁₀ nommé θ ₂ , et ϑ ₁₁ appelé - θ ₁ .

Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de τ seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramètrer certaines courbes; en particulier lidentité de Jacobi est

ϑ(0; τ) ⁴ = ϑ ₀₁ (0; τ) ⁴ + ϑ ₁₀ (0; τ) ⁴

laquelle est la courbe de Fermat de degré quatre.

Identités de Jacobi

Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta transforment sous le groupe modulaire. Soit

α = (-i τ) 1/2 exp

(

i τ z 2 –––––––– π

)

Alors

ϑ ₁ (z; -1/ τ) = -i α ϑ ₁ ( τ z; τ)

ϑ ₂ (z; -1/ τ) = α ϑ ₄ ( τ z; τ)

ϑ ₃ (z; -1/ τ) = α ϑ ₃ ( τ z; τ)

ϑ ₄ (z; -1/ τ) = α ϑ ₂ ( τ z; τ)

Voir aussi : (en) Démonstration de l'identité de Jacobi pour les fonctions de PlanetMath

Représentations de produits

La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :

ϑ(z; τ) =

∞ Π m = 1

n( 1- exp 2i π τ m) n( 1+ exp i π) n( 1+ exp i π) n

Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec q = exp i π τ :

ϑ 1 (z; τ) = 2 q 1/4 sin z

∞ Π n = 1

(1 - q 2n ) (1 - 2 q 2n cos 2 z + q 4n )

ϑ 2 (z; τ) = 2 q 1/4 cos z

∞ Π n = 1

(1 - q 2n ) (1 + 2 q 2n cos 2 z + q 4n )

ϑ 3 (z; τ) =

∞ Π n = 1

(1 - q 2n ) (1 + 2 q 2 n - 1 cos 2 z + q 4 n - 2 )

ϑ 4 (z; τ) =

∞ Π n = 1

(1 - q 2n ) (1 - 2 q 2 n - 1 cos 2 z + q 4 n - 2 )

Représentations intégrales

Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :

ϑ 1 (z; τ) = -e i z   +   i π τ / 4 n ∫

i   +   ∞   i   -   ∞

e i π τ u 2 n cos (2 u z + π τ u) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– sin ( π u)

du

ϑ 2 (z; τ) = -i e i z   +   i π τ / 4 n ∫

i   +   ∞   i   -   ∞

e i π τ u 2 n cos (2 u z + π u + π τ u) ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– sin ( π u)

du

ϑ 3 (z; τ) = -i n ∫

i   +   ∞   i   -   ∞

e i π τ u 2 n cos (2 u z + π u) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– sin ( π u)

du

ϑ 4 (z; τ) = -i n ∫

i   +   ∞   i   -   ∞

e i π τ u 2 n cos (2 u z) ––––––––––––––––––––––––––––––––– sin ( π u)

du

Relation avec la fonction zêta de Riemann

Notons que

ϑ(0;-1/ τ) = (-i τ) ^1/2 ϑ(0; τ)

Cette relation fut utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, signifiant l'intégrale

Γ

(

s –– 2

)

π - s / 2 ζ(s) = n

1 –– 2

∫

∞   0

nt s / 2

dt ––– t

qui peut être montrée invariante par substitution de s par 1-s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta d'Hurwitz.

Relation avec la fonction elliptique de Weierstrass

La fonction thêta fut utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et ont pu être utilisée par lui pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque

℘ (z; τ) = -( log ϑ ₁₁ (z; τ)) + c

où la seconde dérivée a lieu par rapport à z et la constante c est définie comme le développement de Laurent de ℘ (z) à z = 0 ne possède aucun terme constant.

Certaines relations avec les formes modulaires

Soit η , la fonction êta de Dedekind. Alors

ϑ(0; τ) =

η 2(( τ+1)/2) –––––––––––––––– η( τ+1)

.

Comme solution de l'équation de la chaleur

La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant z=x réel, et en prenant τ = it avec t réel et positif. Alors, nous pouvons écrire

ϑ (x,it) = 1+2

∞ Σ n = 1

exp(- π n 2 t) cos(2 π nx)

qui résout l'équation de la chaleur

∂ ––––––– ∂ t

ϑ(x,it) =

1 ––––– 4 π

∂ 2 –––––––– ∂ x 2

ϑ(x,it)

.

Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à t=0, la fonction thêta devient le Peigne de Dirac :

lim t → 0

ϑ(x,it) =

∞ Σ n =   -   ∞

δ(x-n)

où δ est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à t=0 avec la fonction thêta.

Relation avec le groupe de Heisenberg

La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du Groupe de Heisenberg en Mécanique quantique, quelquefois appelée la représentation thêta. Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit f(z) une Fonction holomorphe, soit a et b des nombres réels, et fixons une valeur de τ . Alors, définissons les opérateurs S _a et T _b tels que

(S _a f)(z) = f (z+a)

et

(T _b f)(z) = exp (i π b ² τ +2 π ibz) f (z+b τ)

Notons que

S _a1 (S _a2 f) = (S _a1 ∘ S _a2 ) f = S _{a1 +a 2} f

et

T _b1 (T _b2 f) = (T _b1 ∘ T _b2 ) f = T _{b1 +b 2} f,

mais S et T ne commutent pas :

S _a ∘ T _b = exp (2 π iab) T _b ∘ S _a .

Ainsi, nous voyons que S et T ensemble avec une phase Unitaire forme un Groupe de Lie Nilpotent, le Groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrisable comme H = U (1) × R × R où U(1) est le Groupe unitaire. Un élément de groupe général U ( λ,a,b) ∈ H alors agit sur une fonction holomorphe f(z) comme

U ( λ,a,b) f (z) = λ (S _a ∘ T _b f)(z) = n λ exp (i π b ² τ +2 π ibz) f (z+a+b τ)

où λ ∈ U (1). Notons que U(1)=Z(H) est le centre de H, le sous-groupe commutateur .

Définissons le sous-groupe Γ ⊂ H comme

Γ = { U (1,a,b) ∈ H : a,b ∈ Z } .

Alos, nous voyons que la fonction thêta de Jacobi est une Fonction entière de z qui est invariante sous Γ , et il peut être montré que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.

La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. Fixons une valeur pour τ et définissons une norme sur les fonctions entières du Plan complexe comme

‖ f ‖ 2 =  ∫

C

n exp

(

-2 π y 2 ––––––––– ℑ τ

)

|f (x+iy)| 2 dx dy n

Soit J l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. Notons que J est un espace hilbertien, et que U ( λ,a,b) est unitaire sur J, et que J est irréductible sous cette action. Alors J et L2(R) sont isomorphes comme H-modules, où H agit sur L ² (R) comme

U ( λ,a,b) ψ(x) = λ exp (2 π ibx) ψ(x+a)

pour x ∈R et ψ ∈ L ² (R).

Voir aussi le théorème de Stone-von Neumann pour plus de développements sur ces idées.

Généralisations

Si F est une Forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est

θ F (z) =

Σ m ∈ Z n

exp(2 π izF(m))

avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers Z ⁿ . Cette fonction thêta est une Forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,

θ F (z) =

∞ Σ k = 0

R F (k) exp(2 π ikz)

,

les nombres R_F(k) sont appelés les nombres de représentation de la forme.

Fonction thêta de Riemann

Soit

H _n = {F ∈ M (n,C) s.t. F = F ^T and ℑ F >0 }

l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive; H _n est l'analogue multi-dimensionnel du demi-plan de Poincaré. L'analogue n-dimensionnel du groupe modulaire est le Groupe symplectique Sp(2n,Z); pour n=1, Sp(2,Z)=SL(2,Z). L'analogue n-dimensionnel des sous-groupes de congruence est joué par Ker {Sp(2n,Z) → Sp(2n,Z/kZ) } .

Alors, F ∈ H _n donné, la fonction thêta de Riemann est définie comme suit

θ (F,z) =

Σ m ∈ Z n

exp

(

2 π i n(

1 –– 2

m T F m +m T z

)

)

.

Ici, z ∈ C ⁿ est un vecteur complexe n-dimensionnel, et l'exposant T désigne la Transposition. La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n=1 et F = τ ∈ H où H est le demi-plan de Poincaré.

Publications en langue anglaise

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 . (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover

Diverses parties (représentations des produits des fonctions thêta de Jacobi, identité de Jacobi pour les fonction thêta, représentation intégrales des fonctions thêta de Jacobi) sont issues du site www.planetmath.com