En géométrie différentielle, le groupe de Heisenberg, nommée en faveur de Werner Heisenberg, est le Groupe de Lie réel de dimension 3, sous-groupe de GL ₃ (R) des matrices de la forme :

n

(   ┌      n 1       a       c   ┐     )        n 0       1       b          n 0       0       1       └    n         ┘

. na,b,c ∈ R n

Il est usuellement noté H ₃ (R).

Structure de groupe

H ₃ (R) est un groupe de Lie nilpotent.

Il admet un réseau: le groupe de Heisenberg discret, noté H ₃ (Z). C'est le groupe des matrices de la forme :

n

(   ┌      n 1       m       n   ┐     )        n 0       1       p          n 0       0       1       └    n         ┘

nm,n,p ∈ Z n

Ce groupe H ₃ (Z) est un groupe nilpotent non abélien engendré par deux générateurs, à savoir :

nx = n

(   ┌      n 1       1       0   ┐     )        n 0       1       0          n 0       0       1       └    n         ┘

n, y = n

(   ┌      n 1       0       0   ┐     )        n 0       1       1          n 0       0       1       └    n         ┘

n

et les relations z = xyx ^-1 y ^-1 , xz = zx, et yz = zy. L'élément z s'écrit :

z =

(   ┌      n 1       0       1   ┐     )        n 0       1       0          n 0       0       1       └    n         ┘

. n

Par le théorème de Bass, il a une croissance polynomiale d'ordre 4.

Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, un groupe de Heisenberg peut être construit à partir d'un espace vectoriel symplectique (V, ω) ( ω est une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur V. Le groupe de Heisenberg H (V) est l'espace topologique V × R muni de la loi de groupe :

(v 1 ,t 1 )*(v 2 ,t 2 ) =

(

v 1 +v 2 ,t 1 +t 2 +

1 –– 2

ω(v 1 ,v 2 ))

Le groupe de Heisenberg est une extension du groupe additif V. L'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace vectoriel h (V) = V ⊕ R, muni du crochet de Lie :

= ω(v ₁ ,v ₂ )