Si a et b sont nuls, leur PGCD est nul et la propriété est vérifiée. On exclut ce cas dorénavant, en prenant par exemple a non nul.
Si A = {xa+yb; (x;y) ∈ Z 2 } , on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.
En effet A ∩ N * est non vide (il contient la valeur absolue de a) donc contient un plus petit élément d 0 = x 0 a + y 0 b. La division euclidienne de a par d 0 a pour reste r qui est un entier naturel élément de A car s'écrit a-qd 0 . C'est un entier plus petit que d 0 , il ne peut donc pas appartenir à A ∩ N * , donc r est nul. Cela signifie que d 0 divise a. De même, d 0 divise b. Donc d 0 est un diviseur commun à a et b.
Enfin, soit d un autre diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, d divise x 0 a+y 0 b donc d divise d 0 . d 0 est bien le plus grand diviseur commun de a et b et il existe deux entiers x 0 et y 0 tels que pgcd(a,b) = ax 0 +by 0 .
Enfin, l'existence de deux entiers tels que d = ax + by n'assure pas que d soit le PGCD de a et b mais seulement que d est un multiple du PGCD. En effet, a et b étant des multiples de leur pgcd, ax + by est un multiple du PGCD donc d est un multiple du PGCD de a et b.
En revanche, l'existence de deux entiers x et y tels que ax +by = 1 assure que 1 est un multiple du PGCD de a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de a et b est 1 donc seulement si a et b sont premiers entre eux.
Des entiers x et y convenables pour obtenir l'identité de Bézout peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu. De tels entiers ne sont cependant pas uniques.
Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire
(-3) • 12 + 1 • 42 = 6
et aussi
4 • 12 + (-1) • 42 = 6.
Si le PGCD d est non nul, à partir d'un couple solution (x 0 , y 0 ), il est possible d'obtenir toutes les autres solutions en faisant varier k dans Z:
| a • | ( | x 0 - k • | b
––
d | ) | + b • | ( | y 0 + k • | a
––
d | ) | = d |
Application aux équations diophantiennes
L'équation 12x + 42y = 18 admet aussi des solutions puisque 18 est un multiple du PGCD de 12 et 42. On peut trouver une solution particulière de cette équation en multipliant par 3 une solution particulière de l'équation 12x + 42y = 6. Cette solution particulière trouvée, l'ensemble des solutions est l'ensemble des couples
(x 0 -7k, y 0 +2k) où k parcourt
Z.
En revanche l'équation 12x + 42 y = 16 n'admet pas de solution car 16 n'est pas un multiple du pgcd de 12 et 42.
Applications
Le théorème de Bézout intervient dans la démonstration du
théorème de Gauss.
Généralisation
En d'autres termes, quand les
a i ne sont pas tous nuls, le PGCD de
a 1 , ...,
a n est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de
a 1 , ...,
a n .
Identité de Bézout dans K[X]
L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps K
Extension aux anneaux principaux quelconques
L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre
Anneau principal. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que :
ax + by = dDans un anneau principal, un PGCD de a et b est un générateur de aA+bA, l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition.