]0 ; + ∞ Article détaillé : . Venons-en maintenant à définir explicitement un logarithme. La première façon de pallier cette obstruction qu'est la monodromie est de se contenter de définir un logarithme sur le plan complexe privé d'une demi-droite issue de l'origine, c'est fait par exemple à l'aide de la formule intégrale suivante :| L (x) = ∫ | 1
0 | df/dt(t,x)
––––––––––––––
f (t,x) | dt |
où f (t,x) = t (x-1) + 1
On obtient ainsi la détermination principale du logarithme, définie sur l'ensemble des complexes privé de l'ensemble des réels négatifs ou nul. D'après, le théorème 1, c'est l'unique détermination continue du logarithme qui s'annule en 1.
Une détermination sur un domaine strictement inclus dans le domaine précédent peut aussi être obtenue au travers des séries entières :
| log(1+z) = | ∞
Σ
n = 1
| (-1) n + 1
–––––––––
n | z n = z - | z 2
–––
2 | + | z 3
–––
3 | - … |
D'après le théorème du rayon, cette série converge uniformément sur tout disque centré en 0 et de rayon strictement inférieur à 1. En outre, la transformation d'Abel de la série entière de log(1−z) montre que la série de log(1+z) converge lorsque |z| = 1, avec l'exception notable de z = −1 : log(0) n'existe pas.
Le lien entre logarithme et argument, l'expression classique de l'argument principal en termes de parties réelles et parties imaginaires, et le résultat d'unicité énoncé ci-dessus amènent à l'identité :
| L (x + iy) = ln(|x + iy|) + 2i arctan | ( | y
––––––––––––––––––
x +√(x 2 +y 2 ) | ) |
Ainsi définie, L est une Fonction holomorphe sur U = C \ R , et elle coïncide sur ]0 ; + ∞ Article détaillé : .Plutôt que de se contenter de la détermination principale du logarithme, on privilégie un autre point de vue, plus aisément généralisable : on construit un espace géométrique qui se projette dans le Plan complexe, dans lequel le logarithme est bien défini, et tel que deux points de cet espace dont les logarithmes diffèrent de 2ik π , pour un certain entier k , se projettent sur le même point du plan complexe. On reconnaît ici la définition d'un revêtement de C * } : il s'agit en fait de son revêtement universel. On obtient ainsi une Surface de Riemann.
Pour le cas de la fonction Racine carrée, on peut se contenter de revêtir par une surface plus proche du plan complexe épointé C * initial (plus proche en terme de classification des revêtements) : la valeur de la fonction étant déterminée à multiplication par -1 près, on pourra se contenter d'un revêtement à deux feuillets (contre une infinité pour le logarithme).
En langage plus savant, et de façon plus générale, on peut voir ces surfaces de Riemann ainsi : on considère le revêtement universel de l'espace C privé des singularités de l'équation considérée. Le Groupe de Galois de ce revêtement est le Groupe fondamental de l'espace considéré. Pour obtenir la surface de Riemann associée, il faut considérer le sous-revêtement galoisien dont le groupe de Galois est le groupe de monodromie de l'équation considérée. Cette opération se fait par la correspondance de Galois sur les revêtements. Elle est naturelle dans le sens où elle revient à rendre la monodromie, qui était une obstruction à l'univocité, triviale - et de la manière la moins coûteuse possible, en termes de revêtement.
Voir aussi