V (X) = E(X ² ) - ( E(X) ) ²

V (X) =

Σ k = 1

^{+{ ∞ n</div> n</div></div></div>k 2 P(X = k) - λ 2

V (X) =

+ { ∞ } Σ k = 1

k 2 e -   λ

λ k ––– k!

- λ 2

V (X) = λ e -   λ

+ { ∞ } Σ k = 1

k λ k - 1 –––––––– (k-1)!

- λ 2

V (X) = λ e -   λ

+ { ∞ } Σ k = 1

d ––––– d λ

λ k –––––––– (k-1)!

- λ 2

V (X) = λ e -   λ

d ––––– d λ

+ { ∞ } Σ k = 1

λ k –––––––– (k-1)!

- λ 2

V (X) = λ e -   λ

d ––––– d λ

- λ 2

V (X) = λ e -   λ

d ––––– d λ

- λ 2

V (X) = λ e ^{-   λ} ( λ+1) e ^λ - λ ²

V (X) = λ ( λ+1) - λ ²

V (X) = λ

}}

Son écart type est donc

√

–– λ

Fonction génératrice

La fonction génératrice de la loi de poisson est G _X (t) = e ^{λ ( t - 1 )}

Domaine d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dûs aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la Biologie, la Météorologie, la Finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…

Diagrammes en bâtons

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.

La loi de Poisson en littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville de Londres durant la bataille d'Angleterre.

Voir aussi

• Probabilité
• Probabilité (mathématiques élémentaires)
• Loi de probabilité

Lien externe

• Table de la loi de Poisson