En
Algèbre linéaire, la
matrice compagnon du
Polynôme unitaire
| p (t) = c 0 + c 1 t + | .
s
| + c n - 1 t n - 1 + t n |
est la matrice carrée définie de la façon suivante :
| C (p) = | ┌
│ | n0 | 0 | | 0 | -c 0 | ┐
│ | │
│ | n1 | 0 | | 0 | -c 1 | │
│ | │
│ | n0 | 1 | | 0 | -c 2 | │
│ | | │ | n ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | │ | │
│ | n0 | 0 | | 1 | -c n - 1 | │
│ | | └ | n | | | | | ┘ |
| . |
(même si certains considèrent qu'il s'agit de la transposée de cette matrice).
Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.
Si le polynôme p(t) possède n racines distinctes λ1,...,λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :
| V C (p) V -1 = {diag} | ( | λ 1 , | .
s
| , λ n | ) |
où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1,...,λn.
Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
- A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
- le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
- il existe un vecteur v dans K n tel que {v, Av, A 2v,...,A n-1v} est une base de K n
Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.
Voir aussi