En algèbre linéaire, la
matrice de Sylvester de deux
polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du
Résultant de deux polynômes.
Définition
Soient
p et
q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs
m et
n.
p (z) = p 0 +p 1 z+p 2 z 2 + …+p m z m , q (z) = q 0 +q 1 z+q 2 z 2 + …+q n z n .
La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée (n+m) × (n+m) définie ainsi
- la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de 0
(
| p m | p m - 1 | … | p 1 | p 0 | 0 | … | 0 |
)
|
| . |
- la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite
- les (n-2) lignes suivantes s'obtiennent en répétant même opération
- la ligne (n+1) est formée des coefficients de q, suivis de 0
(
| q n | q n - 1 | … | q 1 | q 0 | 0 | … | 0 |
)
|
| . |
- les lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires
Ainsi dans le cas m=4 et n=3, la matrice obtenue est
| S p,q = |
(
| ┌
| np 4 | p 3 | p 2 | p 1 | p 0 | 0 | 0 | ┐
|
)
| | | n0 | p 4 | p 3 | p 2 | p 1 | p 0 | 0 | | | | n0 | 0 | p 4 | p 3 | p 2 | p 1 | p 0 | | | | nq 3 | q 2 | q 1 | q 0 | 0 | 0 | 0 | | | | n0 | q 3 | q 2 | q 1 | q 0 | 0 | 0 | | | | n0 | 0 | q 3 | q 2 | q 1 | q 0 | 0 | | | | n0 | 0 | 0 | q 3 | q 2 | q 1 | q 0 | |
└ | n | | | | | | |
┘ |
| . |
Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou Résultant de p et q.
Applications
L'
équation de Bézout d'inconnues les polynômes
x (de degré <
n) et
y (de degré <
m) :
x • p + y • q = 0 peut être réécrite matriciellement
dans laquelle t désigne la transposée, est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.
Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec deg x < deg q et deg y < deg p.
Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.
deg(pgcd(p,q)) = m+n-rang~S p,q .
Notamment, le Résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à un.
Voir aussi