En
Algèbre linéaire, la
matrice unité ou
matrice identité (cette dernière dénomination étant un
Anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Nous pouvons l'écrire
{ displaystyle diag(1,1,...,1)
Puisque les matrices peuvent être multipliées à la seule condition que leurs types soient compatibles, il y a des matrices unité de tout ordre. In, est la matrice unité d'ordre n est donc définie comme une Matrice diagonale avec 1 sur chaque entrée de sa Diagonale principale. Ainsi :
| nI 1 = | | n, nI 2 = | | n, nI 3 = |
(
| ┌
| n1 | 0 | 0 | ┐
|
)
| | | n0 | 1 | 0 | |
└ | n0 | 0 | 1 |
┘ |
| n, … , nI n = |
(
| ┌
| n1 | 0 | … | 0 | ┐
|
)
| | | n0 | 1 | … | 0 | | | | n ⋮ | ⋮ | | ⋮ | |
└ | n0 | 0 | … | 1 |
┘ |
| n |
Concernant la multiplication des matrices, les matrices unités vérifient que pour tous p, n entiers naturels non nuls et pour toute matrice A à n lignes et p colonnes,
- I n A = A I p = A
Ce qui montre que la multiplication par une matrice unité n'a aucun effet sur une matrice donnée.
En particulier si n=p, In est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre n.
Il est possible aussi de noter les coefficients de la matrice unité d'ordre n avec le Symbole de Kronecker ; le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne s'écrit :
| δ ij = |
{
| n1 | {si } i = j | | n0 | {si } i ≠ j |
| |
et donc la matrice unité I est égale à
I = ( δ ij )
Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est trivialement déterminé par le contexte, nous pouvons la noter simplement I.
Voir aussi