|
Matrice stochastique
En Mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en probabilité, à la matrice de transition d'une Chaîne de Markov finie. Voici un exemple de matrice stochastique P (dans cet exemple, la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1; on remarque que la somme des éléments de chaque colonne est quelconque): | P = |
(
| ┌
| n0,5 | 0,3 | 0,2 | ┐
|
)
| | | n0,2 | 0,8 | 0 | |
└ | n0,3 | 0 ,3 | 0,4 |
┘ |
|
Si G est une matrice stochastique, alors on appelle vecteur stable pour G le vecteur h tel que: hG = h Par exemple: | G = |
(
| n0,95 | 0,05 |
)
| | n0,03 | 0,97 |
|
et | hG = | | |
(
| n0,95 | 0,05 |
)
| | n0,03 | 0,97 |
| n |
| hG = n |
(
| n0,35625 + 0,01875 | 0,01875 + 0,60625 |
)
|
| = n | |
Cet exemple montre que hG = 1h. Pour des équations du type hG = βh, où β est un Nombre réel , on dit que h est un vecteur propre associé à la Valeur propre β. On peut donc dire que h est un vecteur propre associé à la valeur propre 1. Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier k tel que la matrice P k ne contient que des réels strictement positifs. La matrice 3 × 3 précédente est régulière car : | P 2 = |
(
| ┌
| n0,37 | 0,45 | 0,18 | ┐
|
)
| | | n0,26 | 0,70 | 0,04 | |
└ | n0,33 | 0,45 | 0,22 |
┘ |
|
Le théorème des matrices stochastiques stipule que, si A est une matrice stochastique régulière, alors A possède un vecteur stable t tel que, si xo est un état initial quelconque, et si xk+1 = xkA pour k = 0, 1, 2, ..... alors la Chaîne de Markov {xk} converge vers t quand k → ∞. C’est-à-dire:
Voir aussi
|