Définitions

• En Algèbre linéaire, une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée. Ainsi A est symétrique si :

^t A = A

ce qui exige que A soit une matrice carrée.

Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Exemple :

• L'ensemble des matrices symétriques à coefficients dans un anneau K est noté S _n (K).
• Toute Matrice diagonale est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
• Un théorème fondamental concernant de telles matrices est le Théorème spectral en dimension finie, qui énonce que les matrices symétriques dont les coefficients sont des nombres réels sont diagonalisables à l'aide de matrices orthogonales.
• Remarque : il existe des matrices symétriques non diagonalisables à coefficients complexes. Exemple :

En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle.

Interprétations

• En algèbre bilinéaire, une matrice représentant une Forme bilinéaire est symétrique ssi cette dernière est symétrique.
• Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est auto-adjoint.

Matrices symétriques positives

Définitions

• Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si elle représente une Forme bilinéaire positive.
• L'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre n est noté S _n ⁺ ( R)
• Autrement dit :

∀ S ∈ S _n ( R), S ∈ S _n ⁺ ( R) ⇔ ∀ X ∈ M _n,1 ( R), ^t XSX ≥ 0

• Une matrice symétrique réelle est strictement positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire strictement positive.
• L'ensemble des matrices symétriques strictement positives d'ordre n est noté S _n ⁺⁺ ( R)
• En clair,

∀ S ∈ S _n ( R), S ∈ S _n ⁺⁺ ( R) ⇔ ∀ X ∈ M _n,1 ( R) \ {0} , ^t XSX > 0

Propriétés

• Une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres (qui sont automatiquement réelles) sont positives.
• Une matrice symétrique est strictement positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
• Pour toute matrice réelle A, la matrice ^t AA est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, ^t AA est strictement positive.
• Toute matrice symétrique positive admet une unique racine carrée symétrique positive, en clair :

∀ S ∈ S _n ⁺ ( R), ∃ ! T ∈ S _n ⁺ ( R), T ² = S.

Ce résultat se généralise aux racine nièmes.

Utilisations concrètes

• Une matrice symétrique de dimension 3 représente une Conique en coordonnées homogènes dans un Plan projectif construit à partir de C ³\ {(0,0,0)} .

Voir aussi

• matrice
• matrice antisymétrique