La
matrice transposée (on dit aussi la
transposée) d'une matrice
A ∈ M n,m (K) est la matrice notée
t ! A ∈ M m,n (K) (parfois aussi notée
A T ou
tr ! A), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
La première notation, avec le t avant le nom de la matrice, est la notation utilisée en France, celle où le t se situe après le nom de la matrice à transposer est une notation américaine. Il est donc préférable de savoir d'où proviennent les exercices !
Si B = t ! A, alors ∀ {(i,j) ∈ !] × !]}, b i,j = a j,i .
Exemple :
alors
Propriétés
- La transposée t : M n,m (K) -> M m,n (K) est un Isomorphisme ( application bijective )
Démonstration
t est linéaire (revenir à la définition). De plus, t ! A = 0 = > A = 0, donc t est injective. Les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes (et ont la même dimension nm ), donc c'est un isomorphisme.
- La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme des transposées de ces deux matrices : t (A + B) = t !A + t !B
- La transposée du produit de deux matrices est égale au produit inversé des transposées de ces deux matrices : t (A . B) = t !B . t !A
- La transposée de l'inverse d'une matrice carrée est égale à l'inverse de la transposée de cette même matrice : t (A -1 ) = ( t ! A) -1
- Si A désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors ∀ {i ∈ !]}, b i,i = a i,i .
- Une matrice égale à sa transposée est appelée Matrice symétrique.
Interprétation : dualité
Si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée
t ! A représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir
Espace dual).
Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases orthonormales, alors sa transposée t ! A représente la matrice de l'application adjointe.
Voir aussi