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Module simple
Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si et seulement si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Exemples- Un Espace vectoriel de dimension 1 est un module simple.
- Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
Propriétés- Les modules simples sont les modules de longueur 1.
- Un module simple est indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. En revanche, la réciproque est fausse.
- Les modules simples sont monogènes, c'est-à-dire engendré par un élément. En effet si x est un élément non nul d'un A-module simple M, alors { λ x, λ ∈ A } est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est encore fausse, par exemple le Z-module Z est monogène (engendré par 1) et pourtant 2 Z est un sous-module non trivial de Z.
- Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, la proposition "tout module non nul possède un sous-module simple" est fausse. En effet Z n'est pas simple (point précédent) et tous ses sous-modules sont isomorphes à Z, donc non simples.
- Si f est une application A-linéaire entre deux A-modules M et N et si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective. En effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M.
- Si f est une application A-linéaire entre deux A-modules M et N et si N est simple, alors f est soit surjective, soit nulle. En effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N.
- Les deux résultats précédents impliquent que l'anneau des endomorphismes d'un A-module simple M est un corps. La réciproque de ce résultat est fausse : le Z-module Q n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien Q est inversible.
Voir aussi
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