Un
nombre réel définissable est un
réel qui peut être décrit comme un objet mathématique.
Dans la littérature une relation est quelquefois établie entre cette notion et la théorie de la Calculabilité dans le corps des nombres réels. Le problème de l'arrêt et la constante Oméga de Chaitin sont au centre de ces travaux - voir dans la section "lien externe" ci-dessous.
Problème soulevé par le concept de définissabilité en théorie des ensembles
N'importe quelle suite infinie de décimales étant censée correspondre de manière univoque à un réel compris entre
0 et
1 , l'intervalle
n'est pas un ensemble dénombrable, ce qui avait été démontré par l'argument de la diagonale de Cantor, et donc l'ensemble des réels ne l'est pas non plus.
Si maintenant il existe un ensemble E des nombres réels définissables, et s'il est dénombrable, on peut aussitôt appliquer le même argument diagonal pour définir un nouveau nombre réel µ non élément de E, et E ne serait donc pas l'ensemble des réels définissables, contradiction.
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Historique
Pythagore, qui ne laissa aucun écrit, était, selon la tradition, convaincu que tout se pouvait définir par les nombres et leurs rapports.
Il est supposé avoir sacrifié cent taureaux aux dieux dans sa joie d'avoir découvert le théorème qui porte son nom et par suite la preuve que les côtés d'un rectangle étaient incommensurables avec sa diagonale ; en réalité il n'est pas certain, ni qu'il soit l'auteur de cette trouvaille, ni qu'il aie effectué ce sacrifice, ni qu'il aie été particulièrement heureux que certains "nombres" ne puissent être définis comme rapport de nombres entiers, ce qui, pour ce que l'on sait de sa doctrine, était censé révéler une imperfection dans l'harmonie du monde. De fait, cette découverte réagit durablement sur la conception du "nombre" chez les grecs, et les conduisit à développer une algèbre à caractère géométrique, cherchant le plus possible à résoudre des équations "par la règle et le compas" - mais alors surgirent les problèmes transcendants....
L'invention du calcul différentiel et du calcul intégral permit d'écrire beaucoup de nombres transcendants sous forme d'expressions de longueur finie ; ainsi le rapport constant de la longueur du cercle à son diamètre peut se définir par .
Puis avec l'avènement de la théorie des ensembles, on réalisa vers la fin du XIXe siècle que, puisque toute formule est une suite finie de symboles pris dans un langage dénombrable, il devait exister des nombres qu'aucune formule ne pourrait exprimer.
La question du caractère non opérationnel du continu indénombrable se posa en particulier dans un débat au début du XXe siècle entre Baire, Borel, Hadamard et Lebesgue, où au début le sujet était l'axiome de choix ; Lebesgue élargit le débat en contestant la validité des propositions portant sur des objets qui n'ont pas été définis. Hadamard se démarque de ses trois interlocuteurs en acceptant la construction cantorienne, alors que Baire par exemple refuse de considérer "l'ensemble des parties" d'un ensemble infini. Cependant, ces objections ne purent déboucher sur une théorie effective et quand Zermelo entreprit d'axiomatiser la théorie des ensembles, les idées de Cantor furent essentiellement préservées, ce qui entraînait l'indénombrabilité de R.
Cette fois-ci, il semblait n'y avoir en vue aucun moyen de sauver l' "harmonie du monde".... Une infinité non dénombrable de réels ne sont d'aucun usage, leur existence seule étant connue. Sont-ils des objets mathématiques ? Non, répond Borel, qui maintint cette position et y consacra son dernier ouvrage paru en 1952.
Notes et références
Lien externe