Pour l’article homonyme
?, voir Nombre d'or (homonymie).
En Mathématiques, le nombre d'or est une proportion géométrique définie dans le deuxième livre des Éléments d'Euclide comme une « division en extrême et moyenne raison ». Il détermine les rapports de longueur des côtés du rectangle d'or, du triangle d'or, et intervient dans la construction du pentagone régulier. Habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'Alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte du Parthénon, il est égal au nombre irrationnel :
| ϕ = | 1 +√5
–––––––
2 | ~eq 1,618033988749894848204586834365 |
.
C'est la solution positive de l'équation du second degré :
x 2 - x - 1 = 0
Ses propriétés algébriques le relient à la Suite de Fibonacci et définissent la structure d'anneau des entiers de Dirichlet.
À la Renaissance, le nombre d'or est érigé en valeur esthétique et associé à diverses proportions naturelles. De plus en plus populaire à partir du XIXe siècle, il est recherché dans les dimensions des êtres vivants, des constructions architecturales et dans l'art comme une règle universelle, au prix d'approximations et de choix parfois arbitraires s'éloignant de justifications mathématiques. Au XXe siècle, il fascine de nombreux artistes qui l'introduisent dans leurs compositions.
Géométrie
Proportion
Article détaillé : . Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :
ThéorèmeDéfinition de la proportion d'or
Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables. Soit O, A et B trois points tel que la distance de O à A soit égale à a et celle de O à B égale à b. Soit C le point de la droite passant par O et A tel que la distance entre O et C soit égale à a + b et tel que C ne soit pas dans la demi droite contenant O et d’extrémité A. Soit D le point de la droite passant par O et B tel que la distance entre O et D soit égal à a et tel que D ne soit pas dans la demi droite contenant O et d’extrémité B. Si les deux triangles OAB et OCD sont semblables, alors a et b sont en proportion d’or. Cette configuration est illustrée sur la figure de droite, numérotée 1. La longueur a est représentée en bleu et b en rouge. Dire que les deux triangles sont semblables revient à dire que la droite passant par A et B et celle par C et D sont parallèles.
Euclide exprime la proportion d'or, qu'il appelle extrême et moyenne raison, de la manière suivante : deux longueurs a et b, sont dites en extrême et moyenne raison si seulement si, a est à b ce que a + b est à a. Cette propriété est illustrée par la figure 1 : OA est à OB ce que OC est à OD.
Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a/b est constant, ce qui donne une nouvelle définition du nombre d'or :
ThéorèmeDéfinition du nombre d'or
{2} \\simeq 1,618033988749894848204586834365}}
La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par a/b :
a+b
–––––
a | = | a
––
b | ⇔ 1 + | b
––
a | = | a
––
b | ⇔ | a
––
b | + 1 = | ( | a
––
b | ) | 2 ⇔ | ( | a
––
b | ) | 2 - | a
––
b | - 1 = 0 |
Ce qui revient à dire que φ est solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisième définition :
ThéorèmeDéfinition alternative du nombre d'or
- Soit a une longueur strictement positive, il existe trois points du Plan euclidien O, A et B tels que la distance de O à A soit égale à a et si b désigne celle entre O et B, alors la proportion entre a et b est d'extrême et de moyenne raison :
L’objectif est de construire la figure 1, c'est-à-dire de placer dans le plan euclidien cinq points O, A, B, C et D tel que la distance entre O et A soit égale à a, celle entre O et B à b, entre O et C à a + b et entre O et D à a. Les points O, A et C sont alignés ainsi que les points O, B et D. Enfin les triangles OAB et OCD sont semblables.
Soit une droite contenant deux points O et D tel que la distance de O à D soit égale à a.
Un cercle intermédiaire est utile, soit I un point de la droite perpendiculaire à OD et passant par D tel que la distance de A à I soit égale à a/2 et C le cercle de centre I et de rayon a/2. On définit le point E comme étant élément du segment OI et du cercle C. Le nombre réel b désigne la distance entre O et E. Le point C est défini comme la deuxième intersection du cercle C et de la droite OI. Enfin, le point B est l’élément du segment OD à une distance b de O. Cette configuration correspond à la figure 2. Les éléments de construction intermédiaires sont illustrés en gris.
- L’angle EDO est égale à l’angle OCD :
La méthode pour le démontrer consiste à construire la figure de droite. L’angle
EDO apparaît comme un angle d’un triangle identique à
ECD, ce qui démontre leur égalité. Le triangle considéré est
OFD où
F désigne la deuxième intersection du cercle de diamètre
OD et de la droite passant par
D et
E. Les deux triangles
ECD et
OFD sont
rectangle car leur base est le diamètre d’un cercle et le sommet opposé un des points du cercle. Ils ont ainsi un angle en commun, l’
angle droit. Par construction
OD et
EC ont même longueur égale à
a. Enfin, l’image de
C par la
Rotation d’un quart de tour dans le sens contraire des aiguilles d’une montre de centre
D est égale à
F, ce qui montre que les longueurs
DC et
DF sont égales (cette longueur est illustrée en jaune sur la figure) car une rotation conserve les longueurs. On remarque en effet que l’image par la rotation du cercle
C est le cercle de diamètre
OD et celle de la droite
DC est égale à la droite
DE.
Les deux triangles ont deux longueurs et un angle en commun, ce qui montre qu’ils sont identiques. Cette identité montre l’égalité entre les angles ECD et FDO, encore égal à EDO
- L’angle OAB est égal à l’angle OCD :
Ici,
A désigne le point du segment
OC à une distance
a de
O. La méthode est un peu analogue à celle de la démonstration précédente. Elle montre qu’il suffit prouver l’égalité entre les angles
OAB et
EDO, car l’angle
EDO est égal à
ECD encore égal à
OCD. Pour montrer l’égalité entre ces deux angles, on montre que les deux triangles
OAB et
EDO sont identiques. Ces deux triangles ont un angle en commun :
AOD, il suffit de montrer qu’ils ont deux cotés de longueurs égales. Par définition, les longueurs
OE et
OB sont égales à
b. De même les longueurs
OA et
OD sont toutes deux égales à
a. Les deux triangles sont identiques, ce qui termine cette partie de la démonstration.
- Conclusion :
Les deux triangles
OAB et
OCD ont deux angles en commun,
AOD et
OAB, ils sont donc semblables. Les longueurs
OA et
OD sont égales à
a, la longueur
OB à
b et celle de
OC à
a +
b. Le caractère semblable des deux triangles permet d’affirmer l’égalité
(1), qui termine la démonstration :
- Détermination géométrique de la valeur de φ :
Pour calculer la valeur de φ, on peut utiliser le fait que si
a et
b sont en extrême et moyenne proportion, alors (
a +
b) /
a est égal à φ. La longueur
a peut être choisie quelconque, une méthode simple consiste à la choisir égale à 1. La valeur φ est alors égale à
a +
b ou encore à 1 +
b. La longueur de
OC est égale à la somme de la longueur de
OE et de celle de
EC, et donc à
b + 1, le nombre d'or. Ici le nombre 1 représente le diamètre du cercle
C de rayon 1/2, par construction.
La longueur de OC est égale à φ et aussi à la somme de la longueur de OI et de IC. Le théorème de Pythagore montre que la distance entre O et I est égale à √5/2, la longueur de la Diagonale d'un rectangle de coté de longueurs 1 et 1/2. Celle de I à C est égale au rayon du cercle 1/2. La longueur OC est à la fois égale au nombre d'or φ et à 1/2.(1+√5), ce qui montre le résultat recherchée.
- Détermination algébrique de la valeur de φ :
Une autre solution pour le calcul de φ consiste à faire usage de la troisième définition. La valeur φ est donnée par la solution positive de l'équation du second degré :
x 2 - x - 1 = 0 Le Discriminant de l'équation est égal à 1 + 4 = 5, il existe deux solutions, une seule est positive, on en déduit :
Rectangle et spirale d'or
Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. Soit
C un cercle de
rayon 1 et
D un point du cercle. Sur le dessin (à droite) le point
D correspond à l'extrémité du rayon orange. On considère la droite
D1 perpendiculaire au rayon précédent et passant par
D, elle correspond à celle contenant le segment vert sur la figure. Soit
I le point de cette droite
D1 à une distance de 1/2 de
D et
C' le cercle de centre
I et de rayon 1/2.
Soit le segment, en bleu sur la figure, d'extrémités le centre du cercle C et un point du cercle C' à l'extérieur du disque défini par le cercle C et passant par I. La longueur de ce segment est égal à φ. Avec la longueur 1, ces deux nombres sont en proportion d'extrême et de moyenne raison.
Cette méthode permet de construire simplement un rectangle d'or, c'est à dire un rectangle de longueur a et de largeur b tel que a et b soit en proportion d'extrême et moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle est dit d'or si le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d'or.
Pour tracer un rectangle d'or de longueur a et de largeur b, le plus simple est de dessiner un carré de coté b. Un cercle de centre le milieu de la base et passant par les deux cotés opposé est construit. L'intersection de la droite contenant la base du carré et le cercle contient l'un des points de la base du rectangle d'or. Il apparait comme construit par l'adjonction à un carré de coté de longueur b, d'un rectangle de cotés de longueur b et a - b, comme le montre la figure de droite. Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or :
a-b
–––––
b | = | a
––
b | - 1 = | a+b
–––––
a | - 1 = | b
––
a | = | 1
––
ϕ | text{donc } | b
–––––
a-b | = ϕ |
Il est possible de réitérer le processus précédent et d'intégrer un carré de coté a - b dans le rectangle d'or de coté b, b - a, comme indiqué sur la figure de gauche. Cette méthode peut être prolongée indéfiniment. Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d'extrémités deux cotés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'une spirale d'or, d'équation polaire :
| r ( θ) = r. ϕ - | θ
– – – – –
π / 2 | |
Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique, si A est un point de la spirale, l'angle entre la droite passant par le centre de la spirale et A fait un angle constant avec la tangente à la spirale en A. Une telle spirale est dite équiangle.
D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'oeuf d'or.
Pentagone et pentagramme
Il est possible de construire un pentagone, à l'aide de la proportion en extrême et moyenne raison. Les conventions des paragraphes précédents sont toujours utilisées. Soit le cercle de centre A et de rayon a. Soient O P1 deux points extrémités d'un diamètre et I le point situé sur la perpendiculaire à la droite OA et passant par le point A et C le cercle de centre I et de rayon a/2. Comme précédemment, E et C désigne les points d'intersection de la droite OI avec le cercle C. Les quatre intersections des deux cercles de centre O et contenant C et E, avec le cercle de rayon A forment quatre des cinq sommets du pentagone. Le cinquième est le point P1 (cf figure de gauche).
Quatre des sommets du pentagone s'obtiennent comme intersection de cercles de rayon O de rayon b et a + b avec le cercle initial. Les longueurs b et a + b sont les deux longueurs en proportion d'or avec a.
La construction d'un pentagone permet de dessiner un Pentagramme, c'est à dire la figure composée des cinq diagonales du pentagone (cf figure de droite).
Le pentagramme illustre plusieurs cas de triangles d'or c'est à dire des triangles isocèles dont les cotés de longueurs distinctes sont en proportions d'extrême et de moyenne raison. Si α désigne la distance entre P4 et P5, illustrée en violet sur la figure et β la distance entre P4 et G, illustré en rose, alors α et β sont en proportion d'or. Il en est de même pour α + β et α, comme pour α - β et β, les différentes longueurs qui se retrouvent dans les différents triangles d'or de la figure de droite. Il existe deux natures de triangle d'or, ceux dont les cotés égaux sont proportionnels à α et la base à β, comme les triangles oranges de la figure et ceux dont les cotés égaux sont proportionnels à β et la base à α, comme les triangles jaunes.
Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le 5ième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois 5ième d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé triangle d'argent. Les triangles oranges possèdent deux angles de 72°, soit les deux 5ième d'un angle plat et un angle de 36°. Avec des triangles d'or dont les cotés sont toujours de même longueurs (par exemple α et β) et de nature différente, il est possible de paver intégralement un plan euclidien. Ce pavage n'est pas nécessairement périodique. Un tel pavage est dit de Penrose.
La Trigonométrie permet de montrer les différentes propriétés du paragraphe, il est aussi possible d'établir ces résultats à l'aide de la géométrie.
Deux premiers lemmes sont la clé des différentes preuves. Soient a et b avec a > b, deux longueurs en proportion d’extrême et de moyenne raison. Soient A et B deux points du plan euclidien situés à une distance a l’un de l’autre.
- Soient D un point situé à une distance b de B et a de A et C le point du segment AD situé le plus proche de D tel que A, C et D forment une proportion d’or, le triangle ABD est un triangle d’argent :
Cette proposition correspond à la figure de droite. Par construction, les distances AB et AD sont égales à a, il suffit de montrer que la distance séparant B de D est égale à b. Pour cela, considérons le point E du segment AB situé à b de A et à a - b de B, montrons que le triangle AEC (en vert) est égal à BCD (en or). Il suffit de montrer qu’ils disposent d’un angle et de deux cotés égaux. Les deux triangles AEC et ABD sont semblables et dans un rapport de a/b, comme la distance entre B et D est égale à b, celle entre C et E est égale à a - b, la même que celle qui sépare C et D. Le caractère semblable des triangles ACE et ADB montre que l’angle ACE est égal à ADB. Enfin, la distance DB est égale à celle de AC. Les deux triangles disposent bien de deux cotés et d’un angle égaux, ils sont identiques. On en déduit que la distance BC est égale à celle de AE et donc à b, ce qui termine la démonstration.
- Soient C un point situé à égale distance b de A et de B et D le point situé à une distance a - b de C et a de A, le triangle ABC est un triangle d’or :
Avec les mêmes notations que celles de la démonstration précédente, montrons que le triangle BCE est semblable au triangle ABC, le rapport étant égal à la proportion d’or. La distance entre E et B, égale à a - b. Cette distance, multipliée par la proportion d’or est bien égale à b, celle séparant A de C. Un raisonnement analogue montre que la distance entre B et C que multiplie la proportion d’or est égale à celle entre A et B. Enfin, le caractère isocèle du triangle ABC montre que les angles BAC et ABC sont égaux. On en déduit que la distance entre C et E est égale à b - a. Comme les triangles ACE et ADB sont aussi semblables dans un rapport d’or, la longueur de BD est égale à celle de CE que multiplie la proportion d’or, c'est-à-dire b, ce qui démontre que le triangle ADB est d’or.
- Un triangle d'or est composé de deux angles de 72° et un de 36°, un triangle d'argent contient deux angles de 36° et un de 108° :
Les démonstrations précédentes montrent, avec les notations de la figure de droite que 2θ + η = 180°, la somme des angles d'un triangle d'argent. La même analyse sur le triangle d'or montre que 2μ + θ = 180°. Enfin, une démonstration précédente montre que η + μ = 180° (cf figure de droite).
Les angles sont déterminés par trois équations linéaires à trois inconnus. La valeur μ est égale à 180° - η, ce qui montre que : θ = 2η - 180°. En remplaçant θ par sa valeur dans la formule 2θ + η = 180°, on obtient : 5η = 540° ou encore η = 108°. Cette égalité et la première formule montre que θ est égal à 36° et la deuxième montrent que μ vaut 72°.
On remarque que θ est égal à un cinquième de demi-tour, μ à deux cinquièmes et η à trois cinquièmes.
- Les points P1, P2, P3, P4 et P5 de la figure 3, forment un pentagone :
La méthode utilisée ici consiste à montrer que si deux sommets sont connexes, alors leur angle avec le centre du cercle est de 72°.
- L'angle P4OP5 est de 72°:
Cette première étape est la conséquence du fait que les points
P4 et
P5 sont définis comme l'intersection du cercle de centre
O et de rayon
b avec le cercle de centre
A et de rayon
a. les triangles
P4AO et
OAP5 sont d'or, les angles
P4AO et
OAP5 font chacun 36°, ce qui permet de conclure.
- L'angle P4OP2 est de 72° :
La distance entre
O et
P2 est égale à
a +
b, celle entre
O et
A ainsi que celle entre
A et
P2 est égal à
a. On en déduit que le triangle
OAP2 est un triangle d'argent. Soit
F1 le point du segment
OP2 à distance
b de
A et
D1 l'intersection entre la droite
AF1 et le cercle de rayon
a.
Le triangle AF1P2 est d'argent, on en déduit que le triangle D1AP2 est d'or et que l'angle D1AP2 vaut 36°.
Soit E1 l'intersection entre les segments AP4 et OP2. Le triangle OAP4 est d'or, ce qui montre qu'il existe un point du segment AP4 à distance b de O et A. Le triangle OAP2 est d'argent, ce qui montre l'existence d'un point du segment AP2 à distance b de O et A. Ces deux points sont confondus et égaux à E1. La distance entre E1 et F1 est égale à a - b, en proportion d'or avec la distance entre E1 et A égale à la distance entre F1 et A égale à b. L'angle P4AD1 est égale à 36°, l'angle P4OP2 est somme de deux angles de 36° et vaut bien 72°.
- L'angle P2OP0 est de 72° :
L'angle
P4AP2 est égal à deux fois l'angle du petit sommet d'un triangle d'or, c'est à dire 72°. L'angle entre
P2AP0 est égal à 180° moins l'angle
OAP2. L'angle
OAP2 est l'angle obtu d'un triangle d'argent, égal à 108°. On en déduit que l'angle
P2AP0 est égal à 72°.
- Conclusion :
Il reste encore à montrer mesurer les angles
P5AP3 et
P3AP0. Pour cela, il suffit de remarquer que la droite
OA est un axe de symétrie du pentagone, en conséquence l'angle
P5AP3 est égal
P4AP2 et
P3AP0 est égal à
P1AP0, ce qui termine la démonstration.
Trigonométrie
Article détaillé : . L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or permettent de déterminer les valeurs trigonométriques associées au pentagone. Considérons un triangle d'argent de base φ et donc de cotés opposés de longueur 1. Ce triangle, coupé en son milieu, comme sur la figure de droite par le trait bleu, est un triangle rectangle d'
Hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueur φ et donc sa demi base de longueur φ/2. On en déduit que le cosinus de 36°, soit le cinquième de l'angle plat est égal à φ/2. Un raisonnement analogue s'applique au triangle d'or. Les cotés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que le cosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2.
A partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer les images par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.
Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le Plan complexe. Les sommets sont alors les racines du polynôme cyclotomique X 5 - 1. Cette résolution est particulièrement aisée car 5 est un nombre premier de Fermat, c'est à dire qu'il existe un entier n tel que 5 est égal à 2n + 1. Si p est un nombre premier, le polynôme régulier à p cotés est constructible à :la règle et au compas si et seulement si, p est un nombre premier de Fermat. Dans ce cas, l'extraction des racines du polynôme cyclotomique associé ne nécessite que de résoudre des équations du second degré. L'exemple du pentagone est traité dans l'article Polynôme cyclotomique.
| sin(36 ∘ ) = | √(3- ϕ)
–––––––––
2 | , sin(72 ∘ ) = | √(2+ ϕ)
–––––––––
2 |
En appliquant la formule de l'angle moitié :
| cos | ( | θ
––
2 | ) | = | 12
–––
√ | {2 + 2 cos( θ)} |
;
ainsi que les formules d'angle double et d'angle complémentaire, on peut déterminer le cosinus de tous les angles multiples de 9°. Certaines s'expriment à l'aide du nombre d'or :
| cos ( 9 ∘ ) = | 12
–––
√ | { | 2+ | √
| –––––
2+ ϕ
| } | , cos (18 ∘ ) = | 12
–––
√ | { 2+ ϕ }, cos (27 ∘ ) = | 12
–––
√ | { | 2+ | √
| –––––
3- ϕ
| } | , cos (54 ∘ ) = | 12
–––
√ | { 3- ϕ } |
| cos (63 ∘ ) = | 12
–––
√ | { | 2 - | √
| –––––
3- ϕ
| } | , cos (81 ∘ ) = | 12
–––
√ | { | 2 - | √
| –––––
2+ ϕ
| } |
On peut aussi déterminer le cosinus des angles de la forme en appliquant la formule du cosinus de l'angle moitié :
| cos (9 ∘ ) = | 12
–––
√ | { | 2+ | √
| –––––
2+ ϕ
| } | , cos | ( | 9
––
2 | ∘ | ) | = | 12
–––
√ | { | 2+ | √
| –––––––––––––––
2+√( 2+ ϕ )
| } | , cos | ( | 9
––
4 | ∘ | ) | = | 12
–––
√ | { | 2+ | √
| –––––––––––––––––––––––––
2+√( 2+√( 2+ ϕ ) )
| } |
De manière plus générale :
| cos | ( | 9 ∘
–––––––
2 n + 2 | ) | = | 12
–––
√ | { | 2+ | √
| ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2+ … {n racines gigognes} …√( 2+√( 2+ ϕ ) )
| } | (n ≥ 0) |
Arithmétique
Un autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or, l'
Arithmétique. Elle met en évidence ses propriétés
algébriques ainsi que les profondes relations entre des sujets apparemment aussi différents que la
Suite de Fibonacci ou sa relation avec de difficiles équations diophantiennes. Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières. Pour citer un exemple célèbre, celui-ci correspond à un cas particulier du dernier théorème de Fermat :
x 5 + y 5 = z 5 Il fut résolu par Dirichlet
(1805 - 1859) en
1825, ce qui lui valut une célébrité immédiate.
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), un mathématicien du
XIXe siècle disait des problèmes de cette nature : « Leurs charmes particuliers vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. »
A l'aide d'outils un peu ésotériques, comme la Fraction continue ou l'Entier algébrique, une arithmétique du nombre d'or, plus communément appelé arithmétique de Dirichlet, se dessine. Les repères sont modifiés par rapport à ceux des entiers naturels. Le nombre d'or est considéré comme un entier à cause de son analogie avec la situation plus classique. On ajoute en général le terme algébrique ou quadratique pour marquer la différence. Dans cet univers, 19 n'est pas un Nombre premier, au sens de Dirichlet. Cette arithmétique possède aussi sa difficulté spécifique, appelée obstruction par Dirichlet et étudiée depuis le VIe siècle par les mathématiciens indiens.
Fraction continue
Article détaillé : .La fraction continue est une manière d'approximer un Nombre réel, dans le cas du nombre d'or, elle est simple. On peut l'approcher par les valeurs 1 ou 1 + 1/1. La fraction suivante est plus précise :
Le prolongement à l'infini de cette méthode donne exactement le nombre d'or :
| ϕ = 1+ | 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …))) |
Le fait que la fraction ne s'arrête jamais montre que le nombre d'or n'est pas un
Nombre rationnel. Une démonstration est proposée dans l'article détaillé. On reconnaît, sous la première barre de fraction l'expression du nombre d'or. On en déduit plusieurs expressions algébriques de φ :
| ϕ = 1 + | 1
––
ϕ | text{ou } ϕ 2 = ϕ + 1 |
La dernière formule donne une nouvelle expression du nombre d'or :
| ϕ = | √
| –––––––
1 + ϕ
| = | √
| –––––––––––––––
1 +√(1 + ϕ)
| text{et } ϕ = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––
1+√(1+√(1+√(1+ …) ) )
|
Cette propriété possède des conséquences remarquables si φ est utilisé comme base d'un système de nombre (voir Base d'or).
Une démonstration plus classique et rigoureuse est proposée dans l'article détaillé.
Une manière d'illustrer la fraction continue est la suivante. Dans un premier temps, on dessine un rectangle formé de deux carrés côte à côte et de coté 1. Ce sont les deux carrés numérotés 1 sur la figure de droite. Le rapport entre la longueur et la largeur de la figure est égal à 2, la meilleure approximation en nombre entier du nombre d'or. On ajoute un carré de coté égal à la longueur de la figure précédente. Un tel carré est de coté 2 qu'il est judicieux d'écrire ici 1+1. On obtient un rectangle, composé de trois carrés (les deux numérotés 1 et celui numéroté 2) dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal 3/2 qui s'écrit 1 + 1/2 ou encore 1 + 1/(1+1). On réitère avec un carré de coté égal à la longueur du rectangle précédent, soit celui numéroté 3 sur la figure, on trouve :
5
––
3 | = 1 + | 2
––
3 | = 1 + | 1
–––––
3/2 | text{or } | 3
––
2 | = 1 + | 1
–––––
1+1 | text{donc } | 5
––
3 | = 1 + | 1
–––––––––––––––
1 + 1/(1+1) |
L'approximation commence à être précise, elle vaut 1,66..., celle du nombre d'or est 1,62... On recommence le processus avec un carré de coté la longueur du précédent, on obtient comme rapport 8/5, qui s'écrit 1 + 3/5 et avec le calcul précédent :
8
––
5 | = 1 + | 3
––
5 | = 1 + | 1
–––––
5/3 | text{or } | 5
––
3 | = 1 + | 1
–––––––––––––––
1 + 1/(1+1) | text{donc } | 8
––
5 | = 1+ | 1
––––––––––––––––––––––––––
1 + 1/(1 + 1/(1+1)) |
La dernière itération de la figure donne un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur vaut 13/8 approximation précise à plus de un centième. Si le processus est réitéré à l'infini, on obtient une expression du nombre d'or en fraction continue :
| ϕ = 1+ | 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …))) |
Ce résultat possède une conséquence géométrique déjà citée. Si le processus de génération de rectangle est itéré un nombre suffisant de fois. Le retrait d'un carré de dimension maximale laisse une surface rectangulaire de même proportion que le rectangle initial, aux erreurs de mesure près. On obtient un rectangle d'or.
Suite de Fibonacci
Article détaillé : .Le calcul des couples de numérateurs et dénominateurs obtenus par la fraction continue donne les valeurs suivantes (1,1), (2,1), (3,2), (5,3) ... le dénominateur correspond au numérateur de la fraction précédente. Il est aussi égal au nième terme de la suite de Fibonacci (un). Elle est définie par récurrence : u 1 = u 2 = 1 text{et } u n + 2 = u n + 1 + u n Les deux premiers termes sont égaux à 1 et les autres à la somme des deux précédents. Pour obtenir une bonne approximation du nombre d'or, il suffit de choisir une valeur de n suffisamment élevée et considérer la fraction un+1/un. En terme mathématiques, cela s'exprime sous la forme suivante :
lim
n → ∞ | u n + 1
–––––
u n | = ϕ |
La vitesse de convergence est grande, la différence entre un+1/un et φ est, en Valeur absolue, inférieure au carré de un.
Si la suite de Fibonacci permet de déterminer une approximation du nombre d'or, la réciproque est vraie. Plus exactement, on dispose de la formule suivante :
| u n = | 1
–––
√5 | ( ϕ n -(1- ϕ) n) |
La valeur |1-φ|n ne fait que diminuer lorsque n s'accroit, elle est toujours suffisamment petite pour pouvoir être négligée, il suffit de prendre l'entier le plus proche de l'expression précédente en négligeant le terme en (1 - φ)n, on obtient : ϕ 0
–––
√5 | ~eq 0,44 text{et } a 0 = 0, | ϕ 5
–––
√5 | ~eq 4,96 text{et } a 5 = 5, | ϕ 10
–––––
√5 | ~eq 55,004 text{et } a 10 = 55 |
Pour utiliser la dimension géométrique du nombre d'or, considérons les la suite de vecteurs d'un plan euclidien et coordonnées (un, un-1).
La fonction f qui à (un, un-1) associe (un+1, un) est une application linéaire. Son comportement devient clair s'il est analysé sur deux axes, de vecteurs directeurs u = (1, φ) et v = (1, -φ). Sur l'axe u, la fonction f est une Homothétie de rapport φ, chaque vecteur sur la droite dirigée par u est multiplié par φ. Si la fonction f est appliquée n fois, alors le rapport de l'accroissement est de φn. Sur l'axe v, la fonction est encore une homothétie, mais de rapport 1 - φ. Comme 1 - φ est un nombre négatif strictement plus petit que 1 en Valeur absolue, à chaque itération, un vecteur sur la droite dirigé par v change de direction et se trouve comprimé d'un rapport 1 - φ.
Le point initial p0
= (u2, u1) peut être décomposé sur les deux vecteurs u et v, on trouve p0 = 1/2 (u + v). Calculer p1 = (u3, u2) puis p2 puis pn devient simple, il suffit d'appliquer la fonction f une puis deux puis n fois : | p 1 = f (p 0 ) = | 1
––
2 | ( ϕ • u + (1 - ϕ) • v), p 2 = f (p 1 ) = f ∘ f (p 0 ) = | 1
––
2 | ( ϕ 2 • u + (1 - ϕ) 2 • v), p n = f n (p 0 ) = | 1
––
2 | ( ϕ n • u + (1 - ϕ) n • v) |
On obtient la formule :
| u n = | 1
–––
√5 | ( ϕ n -(1- ϕ) n ) |
Équation diophantienne
Article détaillé : . La fraction continue offre des rationnels b/a offrant presque des solutions à l'équation qui s'écrit sous les formes suivantes : b
––
a | ~eq 1 + | 1
–––––
b/a | ⇔ | b 2
–––
a | ~eq b + a ⇔ a 2 + a • b -b 2~eq 0 |
L'égalité stricte à zéro est impossible, elle n'autorise que les solutions triviales. En effet, aucun nombre rationnel ne vérifie la proportion d'or, ce qui justifie l'équation diophantienne suivante :
(1) x 2 + x • y - y 2 = ± 1 L'école mathématique indienne s'intéresse aux équations de cette nature. Brahmagupta développe une méthode, dite chakravala qui permet l'étude de telles équations. Il utilise une identité, qui dans le cas présent prend la forme suivante :
(a 2 + ab - b 2 )(c 2 + cd - d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ac + bd)(ad + bc + bd) - (ad + bc + bd) 2 Cette identité est liée à l'équation (1) précédente et donc au nombre d'or. Si (a, b) et (c, d) forment deux couples, solutions de l'équation (1), la partie de gauche de l'identité est égale à plus ou moins un. La partie de droite de l'identité décrit donc une solution (e, f) si e = ac + bd et f = ad + bc + bd. La découverte d'une multiplication particulière *, permet de construire autant de solutions que désiré, à partir d'une unique si elle n'est pas triviale :
(a,b)*(c,d) = (ac + bd, ad + bc + bd) En combinant une solution (a, b) avec elle même on en obtient une nouvelle (a 2 + b 2, 2a.b + b 2). Le couple (1, 1) est solution de l'équation (1), donc le couple (2, 3) l'est aussi. Elle est d'ailleurs déjà obtenue avec la méthode précédente. Avec la solution (2, 3) on obtient (13, 21) et avec la solution (13, 21) on obtient (610, 987). On vérifie que le couple (610, 987) est bien une solution de l'équation :
610 2 + 610 × 987 - 987 2 = 372 100 + 602 070 - 974 169 = 1On en déduit que la fraction 987/610 est une excellente approximation du nombre d'or. En effet, 987/610 = 1,6180327... une précision proche du millionième.
Entier de Dirichlet
Article détaillé : . Dans cette vision du nombre d'or, il existe une multiplication naturelle. L'adjonction de l'addition usuelle des couples d'entiers relatifs, définit par l'égalité suivante, confère à l'ensemble des couples (a, b) une structure équipée d'une addition et d'une multiplication appelé, en terme contemporain, un anneau. ∀ a,b,c,d ∈ Z (a,b) + (c,d) = (a+b, c+d) Si cet anneau est construit à partir d'une équation diophantienne connexe au nombre d'or, sa relation avec φ peut être vue plus directement. Il se conçoit simplement en considèrant les nombres réels de la forme a + φ.b, où a et b désignent deux nombres entiers. L'identité de Brahmagupta, définissant la multiplication se lit :
(a + ϕ b)(c + ϕ d) = ac + (ad + bc) ϕ +bd ϕ 2 = (ac + bd) + ϕ(ad + bc + bd) Ces deux anneaux possèdent des structures copie l'une de l'autre, le terme consacré pour décrire cette situation est celui d'Isomorphisme. Un nombre réel de la forme a + φ.b est appelé un entier de Dirichlet. L'anneau des entiers de Dirichlet est le cadre naturel sous-jacent à toute l'arithmétique du nombre d'or. A certains égard, il est analogue à Z, l'ensemble des entiers naturels. Il est commutatif, et intègre. Le terme intègre signifie que si la multiplication de deux éléments α.β donne 0 alors soit α soit β est nul. La ressemblance est plus profonde, cet anneau est euclidien, c'est à dire qu'il dispose d'une Division euclidienne semblable à celle de l'arithmétique des entiers classiques. Les outils de l'arithmétique usuelle sur Z, comme l'Identité de Bézout, le Lemme d'Euclide, le théorème fondamental de l'arithmétique ou en plus sophistiqué le petit théorème de Fermat sont tous des conséquences de la division euclidienne. Elle offre des propriétés analogues pour l'arithmétique du nombre d'or. Cette analogie profonde pousse les arithméticiens à parler d'entiers pour décrire les éléments de cet ensemble. La compréhension de l'arithmétique de Z passe souvent par celles des nombres premiers. L'arithmétique du nombre d'or dispose aussi de ses nombres premiers de Dirichlet. Un nombre premier de Z n'est pas toujours premier dans l'arithmétique du nombre d'or, comme le montre le contre-exemple 19 :
(4 + 3 ϕ)(7-3 ϕ) = 28 - 9 + (-12 + 21 -9) ϕ = 19 De même que Z dispose d'une structure plus vaste Q dans lequel tout les éléments autre que zéro sont inversibles pour la multiplication, les entiers de Dirichlet possèdent une structure équivalente ou chaque nombre s'écrit comme une fraction de deux entiers de Dirichlet. Par analogie, les éléments de cet ensemble sont appelés rationnels de Dirichlet. Un rationnel de Dirichlet est de la forme a + b√5, ici a et b désignent des nombres rationnels.
Fragments d'histoire
Antiquité
Les historiens considèrent en général que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette valeur est l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre d'or suffit. La pyramide de Khéops devient, selon cette convention, un bon candidat pour l'origine du nombre d'or. D'autres encore, se contentent des restes d'un monument dont des dimensions offrent des longueurs permettant d'approximer le nombre d'or. Selon ce critère, un amas de pierres sous la mer des Bahamas est une origine plus ancienne. Ces vestiges, probablement d'origine humaine sont dénommés temple d'Andros.
Le premier texte mathématique indiscutable est celui des Eléments d'Euclide. Le nombre d'or est défini comme une proportion géométrique « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. » Sa relation avec le Pentagone, l'Icosaèdre et le Dodécaèdre est mis en évidence. Les historiens s'accordent tous sur l'existence d'une origine plus ancienne, mais l'absence de document d'époque définitif interdit une connaissance indiscutable de l'origine. L'historien des sciences T. L. Heath attribue la paternité de la découverte à Platon : « L'idée que Platon commença l'étude (du nombre d'or) comme sujet intrinsèque n'est pas sans consistance... ». Heath précise néanmoins dans la même source que les pythagoriciens connaissaient déjà une construction du Pentagone à l'aide de triangles isocèles. A cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique, Hypsicles un mathématicien grec du , en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers. Elle revient chaque fois qu'un pentagone est présent.
L'approche Arithmétique est initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voudrait que, à la différence du nombre d'or, tout nombre soit Rationnel. Paul Tannery précise : « les Pythagoriciens sont partis de l’idée, naturelle à tout homme non instruit, que toute longueur est nécessairement commensurable à l’unité ». Platon évoque cette difficulté, les premières preuves du caractère irrationnel de certaines diagonales de polygones réguliers remontent probablement au Ve siècle av. J.-C.. Platon cite les travaux de son précepteur, Théodore de Cyrène, qui montre l'irrationnalité de √5 et par voie de conséquence, celle du nombre d'or. Dès cette époque, les mathématiciens grecs découvrent des algorithmes d'approximation des nombres diagonaux et latéraux. Bien plus tard, Héron d'Alexandrie, un mathématicien du Ier siècle pousse plus loin cette démarche à l'aide des tables trigonométriques de Ptolémée.
Moyen-Age
Les mathématiques arabes apportent un nouveau regard sur ce nombre, plus tard qualifié d'or. Ce n'est pas tant ses propriétés géométriques qui représente pour eux son intérêt, mais le fait qu'il soit solution d'équations du second degré. Al-Khwarizmi, un mathématicien perse du VIIIe siècle, propose plusieurs problèmes consistant à diviser une longueur de dix unités en deux parties. L'un d'eux possède comme solution la taille initiale divisée par le nombre d'or. Abu Kamil propose d'autres questions de même nature dont deux sont associées au nombre d'or. En revanche, ni pour Al-Khwarizmi ni pour Abu Kamil, la relation avec la proportion d'extrême et moyenne raison n'est mise en évidence. Il devient ainsi difficile de savoir si la relation avec le nombre d'or était claire pour eux.
Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, introduit en Europe les équations d'Abu Kamil. Dans son livre Liber Abaci, on trouve non seulement la longueur des deux segments d'une ligne de 10 unités mais aussi, clairement indiquée la relation entre ces nombres et la proportion d'Euclide. Son livre introduit la suite qui porte maintenant son nom, connue aux Indes depuis le VIe siècle. En revanche la relation avec le nombre d'or n'est pas perçu par l'auteur. Un élément de cette suite est la somme des deux précédents.
La quine, un système de mesure utilisée par les bâtisseurs de l'Art roman, se fonde sur un principe analogue. Elle se compose de cinq unités de mesure, toutes commensurables : la paume égal à 34 lignes, la palme qui en vaut 55, l'empan 89, le pied de Charlemagne 144 et la coudée royale 233. Ces unités correspondent à des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. Une paume plus une palme est ainsi égale à un empan, une palme et un empan à un pied de Charlemagne, enfin un empan et un pied de Charlemagne à une coudée royale. Le rapport entre deux termes consécutifs vérifie de plus en plus précisément la proportion en extrême et moyenne raison. Si au Moyen-age, le nombre d'or est connu des tailleurs de pierres, sa géométrie est considérée comme assez secondaire et ne prend de l'importance uniquement à la renaissance.
Renaissance
Trois siècles plus tard, Luca Pacioli rédige un livre dénommée La divine proportion. Si l'aspect mathématique n'est pas nouveau, le traitement de la question du nombre d'or est inédit. L'intérêt du nombre ne réside pas tant dans ses propriétés mathématiques que mystiques, elles « concordent avec les attributs qui appartiennent à Dieu... ». Pacioli cite les dix raisons qui l'on convaincu. L'incommensurabilité prend, sous la plume de l'auteur, la forme suivante « De même que Dieu ne peut se définir en termes propres et que les paroles ne peuvent nous le faire comprendre, ainsi notre proportion ne se peut jamais déterminer par un nombre que l'on puisse connaître, ni exprimer par quelque quantité rationnelle, mais est toujours mystérieuse et secrète, et qualifiée par les mathématiciens d'irrationnelle ». L'oeuvre ne se limite pas à des considérations mystiques, la divine proportion est décrite comme une valeur esthétique présente dans de nombreux domaines « Je ne parlerai pas de la douce et suave harmonie musicale, ni de la suprême beauté et de la satisfaction intellectuelle créées par la perspective, non plus que de la disposition architecturale ... ». Les proportions de monuments sont interprétées « un très grand nombre de ces monuments élevés et disposés selon ces proportions en divers lieux, comme en témoigne l'inestimable temple antique du panthéon ... » et la référence aux théories de Vitruve est explicite. Une analyse des textes théoriques montre pourtant que le nombre d'or n'est pas plus présent chez les architectes de la renaissance que chez Vitruve. Léonard de Vinci illustre le livre de Pacioli. En revanche, sa version de l'Homme de Vitruve respecte les proportions indiquées par l'architecte romain et non celle de la divine proportion.
Les mathématiciens de l'époque ne sont pas en reste. Les spécialistes des équations polynomiales que sont Gerolamo Cardano et Raphaël Bombelli indiquent comment calculer le nombre d'or à l'aide d'équations de second degré. Un résultat plus surprenant est anonyme. Une note manuscrite, datant du début du XVIe siècle et écrite dans la traduction de Pacioli des éléments d'Euclide de 1509, montre la connaissance de la relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or. Si l'on divise un terme de la suite par son précédent, on trouve une approximation du nombre d'or. Plus le terme est élevé, plus l'approximation est bonne et elle peut devenir aussi précise que souhaitée.
Ce résultat est, plus tard, retrouvé par Johannes Kepler puis par Albert Girard. Kepler est fasciné par le nombre d'or, il dit de lui « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; le second à un joyau précieux. »
Sur le front des mathématiques, l'intérêt diminue. Au XVIIIe siècle, le nombre d'or ainsi que les corps réguliers sont considérés « avec assez de justice, comme une branche inutile de la géométrie ». On lui prête encore un peu d'attention au siècle suivant, Jacques Binet retrouve en 1843 un résultat oublié, démontré d'abord par Leonhard Euler en 1765. Si la lettre φ désigne le nombre d'or, le n ième terme de la suite de Fibonacci est donné par la formule 1/√5(φn + (1 - φ)n). Ce résultat est maintenant connu sous le nom de Formule de Binet. L'essentiel des travaux sont connexes et se reporte sur la suite de Fibonacci. Édouard Lucas trouve des propriétés subtiles associées à cette suite, auquel il donne pour la première fois le nom de Fibonacci. Son résultat le plus important porte le nom de Loi d'apparition des nombres premiers au sein de la suite Fibonacci.
C'est durant ce siècle que le terme de section dorée apparaît. On la trouve dans une réédition d'un livre de mathématiques élémentaires écrit par Martin Ohm. L'expression est citée dans une note de bas de page :« Certains ont l'habitude d'appeler la division en deux telles parties une section d'or. » Cette réédition fait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revanche son origine est un mystère. Une seule chose est sure, elle n'existe pas durant les siècles précédents.
L'intérêt resurgit au milieu du siècle, avec les travaux du philosophe allemand Adolf Zeising. Le nombre d'or devient avec lui, un véritable système, une clé pour la compréhension de nombreux domaines, tant artistiques comme l'architecture, la peinture la musique, que scientifiques avec la biologie et l'anatomie. Zeising détermine patiemment un nombre incalculable de proportions, dans les oeuvres de l'architecte grec Phidias, concepteur et sculpteur du Parthénon, les cathédrales ou les oeuvres des maîtres de la Renaissance. Une dizaine d'années plus tard, il publie un article sur le Pentagramme « manifestation la plus évidente et la plus exemplaire de cette proportion ». Une relecture de la métaphysique pythagoricienne lui permet de conclure à l'existence d'une loi universelle fondée sur le pentagramme et donc, le nombre d'or. Des expériences, fondées sur la statistique, montreraient le caractère naturel du nombre d'or, des formes sont présentés à un public qui évalue les proportions les plus esthétiques. Si les résultats vont dans le sens de l'existence d'un canon de beauté construit à l'aide du nombre d'or, le protocole choisi ne correspond pas aux critères de rigueur actuels. Malgré une approche scientifique douteuse , la théorie de Zeising obtient un franc succès.
La France n'est pas en reste, pouvoir codifier de manière scientifique la beauté est une idée qui séduit. Les dimensions du Louvre, de L'Arc de triomphe sont mesurées avec attention, des délégations sont chargées de mesurer précisément la taille des pyramides égyptiennes ainsi que du Parthénon. Les cathédrales ne sont pas en reste. La France trouve son champion en Charles Henry, un peintre qui s'inscrit dans l'esprit positiviste de son temps. Dans un texte fondateur, à l'origine du mouvement pointilliste, il associe au nombre d'or, une théorie de la couleur et des lignes. Son influence auprès de peintres comme Seurat ou Pissaro n'est pas négligeable. Son attachement au nombre d'or n'est pas aussi profond que son collègue allemand. Il finit, en 1895, par abandonner définitivement l'idée de quantifier le beau.
<span class'romain' title='Nombre écrit en chiffres romains'>XXe siècle Le paroxysme === Loin de s'éteindre avec le déclin du positivisme, la popularité du nombre d'or ne fait que croître durant la première partie du siècle. Le prince roumain Matila Ghyka en devient l'incontestable chantre. Il reprend les thèses du siècle précédent et les généralise. Tout comme Zeising, il s'appuie tout d'abord sur les exemples issus de la nature, comme les coquillages ou les plantes. Il applique cette universalité à l'architecture avec des règles plus souples que son prédécesseur. Le succès de cette théorie finit par influencer les notations. Le nombre d'or est souvent noté φ, en référence à l'architecte Phidias, concepteur du parthénon.
La dimension mystique n'est pas absente chez Ghyka et trouve ses origines dans la philosophie phytagoricienne. L'absence de trace écrite sur le nombre d'or chez les pythagoriciens s'expliquerait par le culte du secret. Cette idée est largement reprise et généralisée par les mouvements de pensées ésotériques au XXe siècle. Le nombre d'or est une trace d'un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou encore Connaissance Occulte chez les Rose-Croix ou des mouvements connexes. On le retrouve chez les passionnés de l'Atlantide, qui voient dans la Pyramide de Khéops ou le temple d'Andros la preuve d'un savoir mathématique oublié. Ce mouvement de pensée reprend des idées développées en Allemagne au XIXe siècle par Franz Liharzik, pour qui la présence du nombre d'or, de π et de carrés magiques est la preuve incontestable d'un groupe restreint d'initiés possédant la science mathématique absolue.
En 1929, une époque troublée par des idées d'un autre age, Ghyka n'hésite pas tirer comme conclusion de son étude sur le nombre d'or, la suprématie de ce qu'il considère comme sa race : « le point de vue géométrique a caractérisé le développement mental (...) de toute la civilisation occidentale (...) ce sont la géométrie grecque et le sens géométrique (... ) qui donnèrent à la race blanche sa suprématie technique et politique. » Si le prince n'insiste que très médiocrement sur cet aspect du nombre d'or, d'autres n'ont pas ses scrupules. Ils usent de l'adéquation de la morphologie d'une population avec les différentes proportions divines pour en déduire une supériorité qualifiée de raciale. Ce critère permet de fustiger certaines populations, sans d'ailleurs la moindre analyse. Le nombre d'or est, encore maintenant, sujet à de prétendues preuves de supériorité culturelle, sociale ou ethnique.
Sans cautionner ces idées extrêmes, certains intellectuels ou artistes éprouvent une authentique fascination pour le nombre d'or ou son mythe. Le Compositeur Iannis Xenakis explique : « Or, les durées musicales sont créées par des décharges musculaires qui actionnent les membres humains. Il est évident que les mouvements de ces membres ont tendance à se produire en des temps proportionnels aux dimensions de ces nombres. D’où la conséquence : les durées qui sont en rapport du nombre d’or sont plus naturelles pour les mouvements du corps humain. ». L'Architecte Le Corbusier reprend l'idée de Vitruve consistant à établir les dimensions d'un batiment en fonction de la morphologie humaine. Il n'utilise cette fois pas les fractions, mais bien des proportions associées au nombre d'or. Il brevète cette invention sous le nom de Modulor qu'il justifie ainsi « la nature est mathématique, les chefs-d'oeuvre de l'art sont en consonance avec la nature ; ils expriment les lois de la nature et ils s'en servent. ». Paul Valéry un poète et intellectuel écrit à ce sujet des vers dans son Cantique des colonnes :
« Filles des nombres d'or
Fortes des lois du ciel
Sur nous tombe et s'endort Un dieu couleur de miel. » Le peintre Salvador Dali fait référence au nombre d'or et sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène, il associe une toile dont les proportions suivent celle d'Euclide et il ajoute une figure pentagonale, le dodécaèdre.Sur le plan mathématique, le nombre d'or suit une trajectoire inverse, son aura ne fait que diminuer et il quitte le domaine de la recherche pure. Il existe néanmoins une exception, une revue sur la suite de Fibonacci, dont l'objet est plus ludique qu'associé à la recherche. En revanche, l'usage du nombre d'or mathématique existe dans certains domaines scientifiques. La question de Phyllotaxie, se rapportant à la spirale que l'on trouve dans certains végétaux comme les écailles de la pomme de pin est-elle vraiment liée à la proportion d'Euclide? Cette question fait couler beaucoup d'encre dès le siècle précédent. Wilhelm Friedrich Benedict Hofmeister suppose que cette spirale est la conséquence d'une règle simple. Pour le botaniste allemand Julius Sachs, ce n'est qu'un orgueilleux jeu mathématique, purement subjectif. Un scientifique, père fondateur de l'Informatique, Alan Turing propose un mécanisme qui donnerait raison à Hofmeister en 1952. Deux physiciens, Douady et Couder, finissent par trouver l'expérience qui permet de conclure cette longue histoire. Hofmeister et Turing avaient raison, la présence du nombre d'or dans le monde végétal n'est ni fortuite ni subjective.
Nature
Omniprésence
La thèse de Ghyka sur l'omniprésence du nombre d'or est souvent reprise. Si une opinion définitive sur ce phénomène est difficile à propos de l'oeuvre des hommes. Il est plus aisé de comprendre la différence d'opinion que soulève cette question pour les sciences de la nature. Elle provient de l'usage des critères utilisés pour lier ou non le nombre d'or avec un phénomène.Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pins engendrent des spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aide d'un Nombre réel non nul quelconque. S'il est égal au nombre d'or, les proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et la suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'une fleur de tournesol. Pour certains, le fait qu'une telle spirale puisse aussi se construire avec le nombre d'or est une raison suffisante pour l'associer à la forme d'une coquille de mollusque comme le nautilus, aux yeux des plumes d'un paon ou encore à certaines galaxies. Pour un spécialiste, l'absence de nombre d'or dans une spirale logarithmique rend le concept caduque. Ni proportion d'or, ni suite de Fibonacci ne sont présents. Le nombre d'or n'offre aucune information sur son sujet d'étude . Il considère la problématique du nombre d'or comme absente de son domaine.
En Minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s'organisent selon un schéma pentagonal. Les proportions entre les cotés et les diagonales du pentagone font intervenir le nombre d'or. Il est aussi présent dans des structures dites quasi-cristalines. Les atomes dessinent des triangles d'or qui remplissent l'espace sans pour autant présenter de périodicité, on obtient un Pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d'or est présent et l'on retrouve la suite de Fibonacci. Le pentagone n'est pas présent dans tous les cristaux. Le Diamant est un dérivé de structure cubique à faces centrées, qui ne fait pas intervenir le nombre d'or.
Ainsi, selon l'axe d'analyse, la réponse sur l'omniprésence du nombre d'or est différente. Pour un scientifique, spécialiste dans un domaine, l'usage du nombre d'or est finalement plutôt rare, limité à quelques sujets comme la Phyllotaxie du tournesol ou la Cristallographie du Quartz. Il recherche des concepts explicatifs pour mieux comprendre son domaine, la proportion d'Euclide est rarement de ceux là. D'autres utilisent l'analogie ainsi que l'esthétique comme critère. La divine proportion est pour eux présente dans les cieux, la vie animale et végétale, les minéraux et finalement dans toute la nature.
Phyllotaxie
Article détaillé : . En Biologie, l'ordonnancement des écailles d'une pomme de pin ou de l'écorce d'un ananas induit des spirales ordonnées par des nombres entiers, souvent associés au nombre d'or. Sur la figure de gauche, on observe 8 spirales, chacune formée de 13 écailles dans un sens et 13 spirales formées de 8 écailles dans l'autre sens. Les proportions de ces spirales ne sont pas très éloignées de celles d'une spirale d'or. Les nombres 8 et 13 sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et leur rapport est proche du nombre d'or. Un phénomène analogue se produit avec les étamines des tournesols, cette fois avec les couples d'entiers (21,34), (34,55) et (55, 89). Chacun de ces couples correspond à deux entiers consécutifs de la suite de Fibonacci.La phyllotaxie ne suit pas toujours les lois du nombre d'or. A droite, on voit un mécanisme analogue sur des feuilles, les deux spirales sont toujours logarithmiques mais ne suivent plus la proportion d'or. Les nombres de spirales dans un sens et dans l'autre sont égaux.
Ce mécanisme est régi par la règle dite de Hofmeister : Le primordium apparaît périodiquement dans le plus grand espace disponible. Un Primordium correspond à un embryon de partie de plante : écaille, feuille, d'étamine etc... Ce mécanisme est contrôlé par la production d'une substance inhibitrice, appelée morphogène, émise par les primordia. Ainsi une nouvelle pousse ne peut naître que le plus loin possible des précédentes.
Dans le cas de l'achimenes eracta, la tige pousse rapidement par rapport à la feuille, la deuxième feuille naît dans la direction opposée, le rapport entre la croissance de la tige et le temps d'apparition d'un nouveau primordium fait que la troisième position la meilleure est à un angle d'un tiers de tour par rapport à la première feuille et deux tiers par rapport à la deuxième. Finalement on obtient l'apparition de trois feuilles, décalées d'un tiers de tour l'une par rapport à l'autre, puis d'un nouveau jeu de trois feuilles, décalé d'un sixième de tour par rapport au jeu précédent.
La pomme de pin suit la même règle pour le primordium de l'écaille. La croissance de la tige entre deux primordia est beaucoup plus modérée. Le troisième primordium naît en conséquence entre les deux premiers, avec un angle légèrement plus faible du coté du premier primordium, la tige ayant un peu grandi. Douady et Couder ont montré qu'un tel mécanisme produit deux jeux de spirales d'or de direction opposée dont les nombres de spirales par jeu correspondent à deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci. Plus la croissance entre l'apparition de deux primordia est petite, plus élevés sont les deux éléments consécutifs de la suite.
Corps humain
Le corps humain est un enjeu souvent corrélé à celui du nombre d'or. Il comporte différentes facettes. Tout d'abord scientifique, la question mainte fois posée est de savoir si le corps, à l'image de la fleur de tournesol, possède une relation plus ou moins directe avec le nombre d'or. En terme artistique, la divine proportion est-elle utilisable pour représenter le corps ? Il existe enfin un enjeu esthétique. Si le nombre d'or, comme le pense le compositeur Xenakis, est relié à notre corps, son usage peut être une technique pour obtenir de l'harmonie. La première corrélation recherchée est dans les dimensions du corps humain. Elle débouche sur la tentative d'un système de mesure construit à l'aide du seul nombre d'or. Zeising fonde toute une anatomie sur cette arithmétique. Après un vif effet de mode, cette approche est finalement abandonnée. Ses proportions sont à la fois trop imprécises et ne correspondent que trop mal à l'anatomie du corps humain. Les proportions du crâne, par exemple, ne sont pas réalistes. D'autres raisons, plus profondes encore, sont la cause de l'abandon d'une démarche de cette nature. L'anatomie médicale n'est pas à la recherche d'une proportion particulière, mais des limites qui, si elles sont dépassées deviennent pathologiques. Elle utilise des fractions simples ainsi que des plages de longueur, mais jamais le nombre d'or. Là où certains voient une divine proportion, comme dans le rapport de la longueur de l'avant-bras sur celui de la main, l'anatomiste scientifique calcule le rapport entre la longueur de la main et celle de l'avant bras, il voit 2/3. La différence entre les deux approches, inférieure à 8%, ne lui parait pas justifier une telle complexité, au vue des variations observées entre les individus.
Une autre raison est fournie par S. J. Gould, un paléontologue. Les dimensions d'un être humain sont en constante évolution. En un siècle, le français moyen a gagné 11 centimètres, et cette croissance n'est pas uniforme. Le jeu des proportions d'un corps humain est essentiellement dynamique, cette aspect rend difficile d'imaginer une proportion unique, clé universelle de l'anatomie humaine. Une approche de cette nature, trop normative et intemporelle, n'a pas beaucoup de sens scientifique en anatomie. Si cet axe de recherche n'est plus d'actualité, cela ne signifie pas l'abandon de la quête du nombre d'or dans le corps humain. Le cerveau est maintenant source d'attention. Cette théorie reste minoritaire et controversée.
Les contraintes artistiques sont de nature différentes. Les artistes, attentifs au travail des médecins, ont imaginé des modules ou systèmes de proportions, propres au corps humain. Le désir de le représenter impose une démarche de cette nature. Un très ancien module est celui des égyptiens, la classique proportion du rapport de la taille complète à la hauteur du nombril est estimé à 19/11, relativement loin du nombre d'or. Les modules sont, en général, purement fractionnaires. Tel est le cas de celui inventé par les égyptiens, par Polyclète, qui nous est rapporté par Vitruve, de celui de Cousin ou de Vinci. Celui d'Albrecht Dürer contient aussi le nombre d'or. Il est néanmoins difficile d'en déduire que Dürer croyait en un canon universel dont la clé serait le nombre d'or. Il initie une conception fondée sur la pluralité des types de beauté, ayant chacune ses proportions propres.
OEuvre de l'homme
Peinture
Ghyka exprime l'idée que le nombre d'or possède une qualité visuelle intrinsèque, cette idée est largement reprise. Un argument essentiel est la présence de la divine proportion dans de nombreux chefs d'oeuvres. Certains peintres comme Dürer, son canon de la figure humaine le contient explicitement, Géricault le montre à travers des croquis. Des commentaires précis sont relativement rares, ce qui amène à rechercher le rapport d'Euclide, sans information directe de la part de l'auteur. Pour Ghyka, l'existence d'une forme géométrique ayant des concordances avec le tableau est un élément de preuve. Pour d'autres une démarche de cette nature est peu convaincante.
Un exemple célèbre est celui de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli. Ses dimensions, 172,5 × 278,5 cm respectent précisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or, correspond à un rythme du tableau, enfin la diagonale du rectangle restant ainsi que celle symétrique sont des lignes de forces. Ce raisonnement n'a pas convaincu certains spécialistes. Le tableau semble faire partie d'un dyptique avec Le Printemps, un autre tableau du maître. L'aile d'un des Dieux, nommé Aura est étrangement coupé. Pour en avoir le coeur net, une analyse finit par être faite. Le verdict est sans appel, Botticelli avait choisi une taille analogue à celle du Printemps, le haut tableau est amputé de 32,5 cm et avait à sa conception la taille de son alter ego. Dans ce cas, le choix de la divine proportion ne correspond pas à celui de sont créateur.
Pour certains, il existe un fondement scientifique à la beauté. Il se justifie parfois par le fait que la beauté vient de la nature qui, elle-même suit des règles scientifiques « ... la nature, ministre de la divinité, lorsqu'elle façonna l'homme, en disposa la tête avec toutes les proportions voulues ... ». Cette idée n'est pas une invention de Pacioli, le traité de peinture de Leon Battista Alberti, établissant les premières règles de la Perspective, était déjà une illustration d'une philosophie de cette nature. La découverte de lois scientifiques, modifie la peinture et permet d'incarner un nouvel idéal. Si l'approche mathématiques d'Alberti obtient un large consensus, la loi de la divine proportion, établie par Pacioli, ne convaint pas l'intégralité des peintres.
Un exemple est le cas Vinci. Pacioli est un de ses amis proches, Vinci connaît suffisamment ses théories pour illustrer son livre. A travers ses codex, son traité et les multiples analyses de ses sources, ses théories sur la proportion lui sont connues. Si, pour le maître, la peinture s'apparente aussi à une science, ses thèses sont forts éloignées de celle de son ami. Sa première source est l'observation et l'expérience, et non les mathématiques : « ... l'expérience ayant été la maîtresse de ceux qui écrivent bien, je la choisis pour maîtresse et, en tout cas ferai appel à elle ». Cette attitude se traduit, par exemple pour le choix des proportions humaines. A travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre les dimensions des différents os, muscles et proportions. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont les rapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide de fractions composées de petits facteurs entiers. La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traités comme la perspective. Une fois encore, sa logique est plus proche de l'observation que de la rigidité mathématique. Les lois qu'il ajoute à celles d'Alberti traitent de la couleur : une chose éloignée voit sa couleur tirer vers le bleu, ainsi que de la netteté « comment les choses qui s'éloignent doivent être moins nettes proportionnellement à leur distance. ». Les règles régissant la proportion chez Vinci sont donc parfaitement connues, elles sont subtiles et en opposition avec des articulations albertiennes, trop claires à ses yeux, comme l'application directe d'une proportion sans lien avec ses observations.
A l'instar du Saint Jérôme à droite, beaucoup d'exemples de rectangle d'or trouvés chez un peintre supposent une approche de la proportion sans justification de la part du peintre ou, comme ici, contraire aux règles établies par son auteur. Ni Arrasse dans son volumineux ouvrage sur Vinci, ni Marani dans le sien ne font référence à une explication de cette nature, malgré une étude approfondie des règles régissant la proportions chez le maître.
Archéologie
L'archéologie est un sujet de controverse. Pour le prince Ghyka, elle est la preuve de l'universalité du canon de beauté qu'est le nombre d'or. L'argument principal est le caractère vaste du nombre d'exemples. Le prince reprend les travaux de son prédécesseur Zeising et l'enrichit considérablement. Le théâtre d'Épidaure possède deux séries de gradins l'une de 21 et l'autre de 34 marches, deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci.
Les plus convaincus citent le temple d'Andros et celui de Salomon comme exemple d'utilisation du nombre d'or. Pour le temple d'Andros, sa forme actuelle est un losange dont deux cotés ont un rapport approximativement égal à 5/3, une valeur proche du nombre d'or. L'origine humaine de ces vestiges, qui daterait de 10 000 ans, n'est pas encore avérée. Ce site, non reconnus par les archéologues officiels est pour ses partisans une preuve de l'existence de l'Atlantide. Le temple de Salomon aurait une dimension d'un rapport 2/1, certains remarquent que ce sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, un élément suffisant à leurs yeux pour voir la trace du nombre d'or.
La pyramide de Kheops convaint un public plus vaste. Cet exemple est cité depuis le milieu de XIXe siècle, une époque ou la méconnaissance presque totale de l'égyptologie donne naissance à d'innombrables mythes. La coïncidence entre les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est ici excellente. Le rapport entre la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un coté correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1%. Le scepticisme est la conséquence de la connaissance actuelle de la civilisation égyptienne. Les outils mathématiques nécessaires pour une détermination du nombre d'or, n'apparaissent que 700 ans plus tard, grâce à un apport babylonien. On ne trouve pas non plus la moindre trace religieuse ou esthétique qui justifie un choix de cette nature. Cette faiblesse pousse Taylor, à l'origine de cette hypothèse, à créer de toute pièce une citation de Hérodote : « Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires ».
Le cas grec est encore plus populaire et très largement étayé. Mais l'écart entre la culture grecque et le nombre d'or laisse perplexe les spécialistes. Ces proportions incommensurables, que sont la diagonale d'un carré ou celle d'Euclide, sont vécues comme un scandale, une trahison des dieux à l'époque de Pythagore. Un grec n'imagine pas qu'un nombre puisse être autre chose qu'une fraction d'entiers. L'existence de proportions, comme celle d'Euclide, qui ne sont pas des nombres est une source de chaos intellectuel, à l'opposée des valeurs philosophiques et mystiques des pythagoriciens. On raconte que Hippase de Métaponte aurait été exclu de la confrérie des pythagoriciens pour avoir dévoilé le scandale de l'incommensurabilité d'une diagonale d'un Dodécaèdre, une autre indique qu'il aurait péri noyé, conséquence de son impiété. Qu'une proportion aussi négative soit utilisée pour les monuments apparaît étonnant. Les textes d'architecture grecs confirment l'usage des nombres rationnels pour définir les proportions des batiments. Les proportions harmonieuses sont longuement relatées par Vitruve un architecte, auteur du célèbre traité De Architectura en dix volumes. Pour se faire il utilise largement, au volume IX, les mathématiques de Platon, Pythagore ou d'autres mathématiciens. Les proportions proviennent du module de Polyclète un sculpteur grec contemporain de Phidias. Le traité de Vitruve ne contient aucune trace de proportion irrationnelle à l'exception de la diagonale du carré.
Enfin, les exemples choisis par le prince sont controversés. Retrouver la divine proportion dans la façade du Parthénon demande des conventions spécifiques, comme d'inclure trois des quatre marches du fronton ou de tronquer le toit. L'usage de valeurs non spécifiques donne des résultats trop éloignés de l'objectif. Pour expliquer la présence du nombre d'or dans les proportions des monuments grecs, Ghyka n'hésite pas à utiliser des fractions comme 1/φ4, bien difficile à différencier de 1/4, ou d'une racine quatrième de φ. Les techniques hellénistiques sont pourtant incapables de réaliser un tel calcul.
Architecture
Le Corbusier est l'architecte qui théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve, consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiant l'usage de la proportion d'Euclide. A l'instar de nombreux artistes, l'intérêt que voit Le Corbusier au nombre d'or n'a pas grand chose à voir avec l'existence ou non d'une présence exacte du nombre d'or dans la nature ou dans les arts. S'il pense qu'un rectangle est plus harmonieux avec une proportion aux alentours de 1,6, la précision mathématiques n'est pas sa préoccupation.Le nombre d'or permet de créer un curieux système de numération. Les mathématiques nous apprennent qu'il est possible de construire une numération positionnelle, non seulement avec dix, comme celle des humains, ou avec deux, pour les ordinateurs, mais avec n'importe quel nombre réel strictement positif et différent de un. Celui construit avec le nombre d'or, appelé Base d'or, lui semble le plus adapté à l'architecture. Au premier contact, il est un peu étrange. Par exemple dans ce monde 100 est égal à 10 + 1, ce qu'un mathématicien lit φ2 = φ + 1. Cette loi est la réincarnation de la vielle quine des tailleurs de pierre du Moyen-Age, une paume plus une palme est égal à un empan.
Cette échelle harmonique pour reprendre son expression permet dans un premier temps de réconcilier les forces du système métrique décimal, pratique et abstrait, avec le système anglais des pouces et des pieds, naturel mais peu pratique. En calant les différentes dizaines, c'est à dire ici les puissances du nombre d'or, sur les dimensions humaines, Le Corbusier cherche à obtenir un système alliant les deux avantages. La deuxième unité correspond à la taille d'un avant-bras, la troisième à la distance entre le nombril et le sommet de la tête, la quatrième à celle entre le sol et le nombril d'un homme debout et la cinquième à la taille d'un adulte.
En terme d'architecture, cette démarche offre un moyen naturel pour incarner l'idéal de Vitruve. Chaque dizaine correspond à une proportion humaine et les différentes proportions se répondent entre elles. En terme d'Urbanisme Le Corbusier cherche à trouver un moyen de normalisation. En 1950, date de parution du premier tome sur le Modulor, nom qu'il donne à ce système, les besoins de reconstruction sont vastes et la rationalisation de la production, un impératif. L'auteur parle de machine à habiter.
Cette démarche, vise aussi un objectif esthétique. La normalisation dispose d'un avantage, elle permet plus d'harmonie. Le tracé régulateur, c'est à dire l'échelle construite sur la suite de Fibonacci y joue un rôle : « Le tracé régulateur n'apporte pas d'idées poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. Problème de pure plasticité. »
A partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son oeuvre architecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemples célèbres.
La contribution de Ghyka
Vers 1930, le Roumain Matila Ghyka voit le nombre d'or partout : les spirales des coquillages, la disposition des feuilles des plantes, le nombre de pétales… mais aussi l'Architecture ou la Peinture. C'est lui qui popularise cette notion que les rectangles construits à partir du nombre d'or sont attrayants visuellement. Ghyka trouve en effet des approximations de φ par exemple dans des tableaux comme la Joconde. Au-delà de la méthode
Le lecteur est alors en droit de se demander ce qu’il adviendrait si les résultats étaient exacts et se rapportaient à des découpages cohérents et reconnus des oeuvres étudiées. Plusieurs pistes tendent à montrer que cela ne prouverait rien quand même.Une des études statistiques les plus connues est celle du philosophe allemand Gustav Fechner, réalisée en 1876. Il se base sur des formes élémentaires et recherche dans les croix du commerce (bijoux) ou religieuses (crucifix et croix tombales) les proportions les plus courantes. Il en présente à un grand nombre de personnes plusieurs modèles et leur demande de choisir celle qui à leurs yeux est la plus esthétique. La croix considérée comme la plus esthétique est celle de Saint-André.
La seconde expérience réalisée par Fechner porte sur différents rectangles. Sa procédure consiste à présenter à un sujet une série de dix rectangles dont les rapports hauteur/largeur varient entre 1 et 0,4. Le sujet doit ensuite choisir la figure qui lui parait la plus esthétique. Environ 76 % des choix sont centrés sur des rectangles dont les rapports sont 0,57 ; 0,62 et 0,67. Les autres figures reçoivent moins de 10 % chacune.
Ces considérations ne peuvent donner une réponse absolue quant à la présence du nombre d’or en esthétique. Mais les résultats obtenus vont néanmoins dans le sens de la « divine proportion ». Malgré cela, les choix de Fechner sont relativement limités et l’ordre de présentation des rectangles joue un rôle important sur le choix des sondés.
Un test réalisé par George Markowsky met en oeuvre 48 rectangles de proportions différentes (entre 0,4 et 2,5). La hauteur de ces figures est fixe, seule la largeur varie. Les rectangles sont tout d’abord présentés sous forme de matrice 6×8 et organisés de manière aléatoire. Il en ressort que la plupart des gens sont incapables de trouver le rectangle d’or dans ces conditions. Les figures sont ensuite ordonnées selon leur largeur dans l’ordre croissant. Il se trouve que dans cette configuration, les choix sont relativement différents par rapport au cas précédent. Dans cette expérience, le rectangle le plus souvent nommé est celui dont le rapport est de 1,83. Ce test semble prouver que le rectangle d’or n’est pas celui qui nous paraît le plus esthétique.
Nombre d'or en musique
Des études controversées attribuent à Bach, Erik Satie, Claude Debussy, Béla Bartók, John Chowning, Karlheinz Stockhausen, une décomposition de leurs oeuvres suivant le nombre d'or ou la suite de Fibonacci : selon ces analystes musicaux, le nombre de mesures associées à chaque mouvement se déclinerait selon un rapport d'or. Mais il est très difficile de trouver trace de témoignages directs de compositeurs affirmant avoir utilisé sciemment le nombre d'or. On peut cependant citer parmi eux, Iannis Xenakis qui, dans la préface à la partition du Sacrifice, in Anastenaria, précise avoir utilisé la suite de Fibonacci et le justifie en ces termes « les durées qui sont en rapport du nombre d’or sont plus naturelles pour les mouvements du corps humain ».Notes et références
Bibliographie
- George Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio, in The College Mathematicals Journal (1992, 23-1 p. 2-19) http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf lire en ligne[pdf]
- Le Corbusier, LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique, Éditions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL, 1949
- Marguerite Neveux, Nombre d'or - radiographie d'un mythe, Seuil/Points, 1995
- Jérôme Haubourdin, Le mythe du nombre d'or - une esthetique mathematique, éditions Biospheric, 2006
- Marius Cleyet-Michaud, Le nombre d'or, P.U.F., coll. Que sais-je ?, 12e édition, 2002
- Philippe Lamarque, Le Nombre d'Or, Editions Trajectoire, 2005 (ISBN 9782841973200)
- Abbaye Notre-Dame de Boscodon, Nombre et Lumière - Recherches sur l'architecture romane à l'abbaye de Boscodon , Cahiers de Boscodon, n°8, 2007
Notes
Liens
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