En
Mathématiques et plus précisément en
Théorie des nombres, un
nombre parfait est un nombre entier
n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses
diviseurs stricts, autrement dit, tel que
σ(n) = 2n où
σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de
n,
n compris.
Le premier nombre parfait est 6, car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.
Propriétés
Le mathématicien
Euclide, au , a découvert et prouvé que si
M = 2 p -1 est premier, alors
| M • | ( | M+1
–––––
2 | ) | = 2 p - 1 (2 p - 1) |
est parfait.
Ainsi :
- 6 = 2 1 (2 2 -1)
- 28 = 2 2 (2 3 -1)
- 496 = 2 4 (2 5 -1)
- 8128 = 2 6 (2 7 -1)
- ...
Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2p-1).
Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.
En 2000, Douglas Iannucci a démontré dans Journal of Integer Sequences 3, 2000, Article 00.1.2 que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux.
Exemples
Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité. Depuis, le total est passé à 44 nombres parfaits seulement (au 11/09/2006).
Les douze premiers nombres parfaits sont :
- 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
- 2 305 843 008 139 952 128
- 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
- 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
- 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
- 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128
La liste complète se trouve sur le site de J. Pedersen.
Curiosité
En divisant chacune des égalités ci-dessus par le nombre parfait correspondant, on découvre une propriété de certaines
fractions égyptiennes :
- 1 = 1/6 + 1/3 + 1/2
- 1 = 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2
- et ainsi de suite
Conjectures
L'affirmation "il n'existe aucun nombre parfait impair" est une
Conjecture. En effet, on ignore s'il existe des nombres parfaits impairs; un tel nombre doit avoir au moins 11 facteurs premiers distincts dont au moins un est supérieur à 300 000; un nombre parfait impair doit être supérieur à
10 300 . L'espoir de trouver un jour un nombre parfait impair n'est pas totalement exclu, dans le sens où il existe des nombres impairs
presque parfaits (spoof perfect numbers). Considérons par exemple le nombre suivant :
- 198585576189 = 22021 × 32 × 72 × 112 × 132
Un tel nombre serait parfait si le 22021 était un facteur premier, ce qui n'est pas le cas.
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne. On ne sait pas non plus s'il existe une infinité de nombres parfaits.
On peut également remarquer que tous les nombres parfaits découverts se terminent soit par 6, soit par 28.
Voir aussi
Liens externes
Notes et références
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