En
Mathématiques, les
octonions ou
octaves sont une extension non-associative des
quaternions. Ils forment une algèbre à 8
dimensions sur les
réels. L’
Algèbre des octonions est généralement notée
O.
En perdant l’importante propriété d’Associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en Algèbre et en Géométrie, notamment parmi les groupes de Lie.
Historique
Les
octonions ont été découverts en
1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela
octaves. Ils furent découverts indépendamment par
Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en
1845. Ils sont souvent appelés
octaves de Cayley ou
algèbre de Cayley.
Définition
Chaque
octonion est une combinaison linéaire à coefficients
réels d’
octonions unitaires { 1, i, j, k, l, li, lj, lk } .
Autrement dit, chaque octonion x peut être écrit sous la forme
- x = x 0 + x 1 . i + x 2 . j + x 3 . k + x 4 . l + x 5 . li + x 6 . lj + x 7 . lk,
avec des coefficients réels
x n . L'ensemble de ces combinaisons linéaires est un
Espace vectoriel noté
O,
isomorphe à
R 8 .
Addition
L’
Addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants, comme pour les
nombres complexes et les
quaternions :
(x 0 + x 1 . i + x 2 . j + x 3 . k + x 4 . l + x 5 . li + x 6 . lj + x 7 . lk) +
(y 0 + y 1 . i + y 2 . j + y 3 . k + y 4 . l + y 5 . li + y 6 . lj + y 7 . lk) =
(x 0 +y 0 ) + (x 1 +y 1 ).i + (x 2 +y 2 ).j + (x 3 +y 3 ).k + (x 4 +y 4 ).l + (x 5 +y 5 ).li + (x 6 +y 6 ).lj + (x 7 +y 7 ).lk.
Propriétés
L’
addition des
octonions est
commutative :
associative :
- x + (y + z) = (x + y) + z,
et a un élément neutre, zéro, noté
0 :
Pour tout octonion x existe un octonion unique, noté -x , tels que leur somme est nulle :
- x + -x = 0.
- Cet octonion, nommé opposé, s'obtient simplement en prenant l'opposé des coefficients réels de x .
Ainsi l'ensemble des octonions muni de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.
Soustraction
La
soustraction des
octonions est alors l'opération simplement définie par :
Multiplication
La
multiplication des
octonions est alors complètement determinée par la propriété de
Distributivité à droite et à gauche :
- a . (b + c) = a . b + a . c
- (a + b) . c = a . c + b . c
où
a, b, c sont des
octonions quelconques, et zéro l’
élément absortant, et par la table de multiplication des
octonions unitaires ci-dessous :
| . | 1 | i | j | k | l | li | lj | lk |
| 1 | 1 | i | j | k | l | li | lj | lk |
| i | i | -1 | k | -j | -li | l | -lk | lj |
| j | j | -k | -1 | i | -lj | lk | l | -li |
| k | k | j | -i | -1 | -lk | -lj | li | l |
| l | l | li | lj | lk | -1 | -i | -j | -k |
| li | li | -l | -lk | lj | i | -1 | -k | j |
| lj | lj | lk | -l | -li | j | k | -1 | -i |
| lk | lk | -lj | li | -l | k | -j | i | -1 |
Dans la table ci-dessus, l’opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l’opérande de droite est dans la première rangée. Le tableau n'est pas symétrique, ce qui signifie que cette multiplication n'est pas commutative.
La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :
- i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = ijk = jki = kij = -1.
Plan mnémotechnique de Fano
Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme ci-contre.
Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle passant par i , j et k est considéré comme une droite) est appelé le plan de Fano. Les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de O. Chaque couple de points distincts se trouve sur une droite unique et chaque droite traverse exactement 3 points.
Soit (a, b, c) un triplet ordonné de points situé sur une droite donnée avec l’ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par :
a . b = c et
b . a = -c
avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :
- 1 est l’élément neutre pour la multiplication,
- e 2 = -1 pour chaque point e du diagramme définit complètement la structure algébrique des octonions.
Chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de
O isomorphe aux
quaternions H.
Conjugué
Le
Conjugué d'un
octonion - x = x 0 + x 1 . i + x 2 . j + x 3 . k + x 4 . l + x 5 . li + x 6 . lj + x 7 . lk,
est donné par
- x * = x 0 - x 1 . i - x 2 . j - x 3 . k - x 4 . l - x 5 . li - x 6 . lj - x 7 . lk.
La conjugaison est une Involution de O et satisfait
(notons le changement dans l’ordre de succession).
Parties réelle et imaginaire
La
Partie réelle de l’
octonion x est définie comme suit
-
| Re(x) = | x + x *
––––––––
2 | = x 0 |
et la
Partie imaginaire -
| Im(x) = | x - x *
––––––––
2 | = x 1 . i + x 2 . j + x 3 . k + x 4 . l + x 5 . li + x 6 . lj + x 7 . lk |
de sorte que pour tout
octonion x ,
- Re(x) + Im(x) = x,
- Re(x * ) = Re(x),
- Im(x * ) = -Im(x).
L’ensemble de tous les octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7 dimensions sur les réels de O, notée Im(O), isomorphe à R 7 . Il n'est pas une sous-Algèbre parce que la multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.
L’ensemble de tous les octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-Algèbre à 1 Dimension de O, notée Re(O), isomorphe à R.
Norme
La
Norme d’un
octonion x est définie comme suit
Cette
Racine carrée est bien un
Nombre réel Positif :
- |x| 2 = x . x * = x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2
Cette
norme correspond avec la norme
euclidienne sur
R 8 .
On a aussi:
-
| |x| = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––
2 - 2
|
, -
| Re(x) = ± | √
| ––––––––––––––––––––––
2 + |x| 2
|
, - 2 = 2 - |x| 2 (le carré de la partie imaginaire est un réel).
Inverse
L’existence d’une
norme sur
O implique l’existence d’un
Inverse pour chaque élément distinct de zéro dans
O. L’inverse de tout
x différent de zéro est donné par
Cela satisfait
L'ensemble O * des octonions non nuls, muni de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et non-associatif.
Division
La
division des
octonions x et
y est alors définie par l’égalité suivante :
-
x
––
y | = x . y -1 = {|y|} -2 . x . y * |
, avec y différent de zéro.
Construction de Cayley-Dickson
A l’instar des
quaternions assimilés aux couples de
nombres complexes (et des
nombres complexes assimilés aux couples de
nombres réels), les
octonions peuvent être traités sous forme de couples de
quaternions.
L’Addition de couples de quaternions (a, b) et (c, d) est définie par :
- (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
La multiplication de 2 couples de quaternions (a, b) et (c, d) est définie comme suit :
- (a, b) . (c, d) = (a . c - d . b * , a * . d + c . b)
où
z * est le
Conjugué du
Quaternion z .
La multiplication d'un nombre réel a par un couple de quaternions (c, d) est définie par :
- a . (c, d) = (a, 0) . (c, d), d’où
- a . (c, d) = (a . c, a . d)
On peut alors définir l’algèbre des couples de quaternions par l'ensemble H 2 des combinaisons linéaires à coefficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :
- (1, 0) ; (i, 0) ; (j, 0) ; (k, 0) ;
- (0, 1) ; (0, i) ; (0, j) ; (0, k).
Cet ensemble, muni des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2
dimensions sur l'ensemble des
quaternions, et à 8
dimensions sur l'ensemble des
nombres réels.
Soit I 0 l'opération inversible qui associe à tout Quaternion de coordonnées réelles (a, b, c, d) l'octonion de mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires { 1, i, j, k }.
On montre facilement que l’opération I suivante, qui associe tout couple de quaternions (c, d) de H 2 à un octonion de O telle que :
- I (c, d) = I 0 (c) + I 0 (d) . l est bijective.
Il s'ensuit que
H 2 est
isomorphe à
O.
On démontre alors que les additions et multiplications d’octonions o 1 et o 2 dans O sont équivalentes aux opérations ci-dessus de couples de quaternions (a 1 , b 1 ) et (a 2 , b 2 ) dans H 2 :
- I -1 (I (a 1 , b 1 ) + I (a 2 , b 2 )) = (a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ),
- I -1 (I (a 1 , b 1 ) . I (a 2 , b 2 )) = (a 1 , b 1 ) . (a 2 , b 2 ),
- I (I -1 (o 1 ) + I -1 (o 2 )) = o 1 + o 2 ,
- I (I -1 (o 1 ) . I -1 (o 2 )) = o 1 . o 2 .
Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les quaternions dans l'ensemble des octonions munis des opérations de la construction de Cayley-Dickinson et des égalités suivantes :
- (1, 0) = 1 ; (i, 0) = i ; (j, 0) = j ; (k, 0) = k ;
- (0, 1) = l ; (0, i) = il ; (0, j) = jl ; (0, k) = kl..
(dans ce cas, l’
Isomorphisme I ci-dessus qui devient une simple identité.)
Propriétés
La
multiplication des
octonions n'est
ni commutative :
ni associative :
- (i . j) . l = -i . (j . l).
Elle satisfait une forme plus faible que l’Associativité : l’Alternativité. Cela signifie que la sous-Algèbre générée par 2 éléments quelconques (a, b) est associative :
- (a . b) . b = a . (b . b).
On peut montrer que la sous-Algèbre générée par 2 éléments quelconques de O est isomorphe à R, C, ou H, qui sont tous associatifs.
Les octonions partagent une propriété importante avec R, C, et H : la Norme sur O qui satisfait
Cela implique que les
octonions forment une
normée non-
associative. Les
algèbres de plus haute
dimensions définies par la
construction de Cayley-Dickson (par exemple les
sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des
diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.
Il s’avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont R, C, H et O. Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives, de Dimension finie sur les réels.
La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments de O distincts de zéro ne forment pas un groupe algébrique, ni un corps ou un anneau. Ils forment un Quasigroupe ou groupe additif.
Automorphismes
Un
Automorphisme A des
octonions est une transformation linéaire inversible de
O sur lui-même qui vérifie
- A (x . y) = A (x) . A (y).
L’ensemble des automorphismes de O forme un groupe noté G 2 . Le groupe G 2 est un Groupe de Lie réel simplement connexe et compact, de Dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.
Sous-algèbres particulières
On vérifie aisément que toutes les opérations dans la sous-algèbre des
octonions dont la partie imaginaire est nulle sont équivalentes aux opérations dans l’algèbre des
réels. De même la sous-algèbre des
octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 2 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des
complexes. De même la sous-algèbre des
octonions dont toutes les dimensions réelles sauf les 4 premières sont nulles est équivalente à l’algèbre des
quaternions.
Par conséquent on identifiera les nombres réels, complexes et quaternions comme des octonions particuliers, qu’on notera de la même façon : R ⊂ C ⊂ H ⊂ O.
Sujets liés
Liens externes et références