Paradoxe de Cantor
Le paradoxe de Cantor, ou paradoxe du plus grand cardinal, est un Paradoxe de la théorie des ensembles découvert par Georg Cantor dans les années 1890 (il est mentionné dans une lettre à David Hilbert datée de 1897). Le paradoxe montre que l'existence d'un plus grand cardinal conduit à une contradiction. Dans une théorie des ensembles trop naïve, qui considère que toute propriété définit un ensemble, ce paradoxe est bel et bien une antinomie, une contradiction déduite de la théorie, puisque l'on pourrait considérer que le cardinal de la classe de tous les cardinaux est alors le plus grand cardinal. Mais ce n'en est pas une pour Cantor. Pour lui, cela montre que le plus grand cardinal, s'il peut d'une certaine façon se définir, n'est pas un Ensemble : en termes modernes, la classe des cardinaux n'est pas un ensemble. On peut déduire de deux façons le paradoxe. Pour toutes deux on utilise que tout ensemble a un cardinal et donc, implicitement, l'Axiome du choix. - On montre que la classe des cardinaux est équipotente à la classe des ordinaux, et donc le paradoxe de Cantor se ramène au paradoxe au paradoxe de Burali-Forti, il faut pour cela une forme du schéma d'axiomes de remplacement.
- On utilise le Théorème de Cantor sur la cardinalité de l'ensemble des parties : si le plus grand cardinal est un ensemble, il a donc un ensemble des parties, qui a alors un cardinal strictement supérieur à ce plus grand cardinal.
On peut éliminer tout appel à la notion de cardinal, et donc à l'axiome du choix dans le second raisonnement. Soit V la classe de tous les ensembles (dont le cardinal serait naturellement le plus grand cardinal). Si V est un ensemble, son ensemble des parties P(V) également. Donc P(V) ⊂ V, l'identité définit une injection de P(V) dans V et contredit le théorème de Cantor. Sous cette forme, il est très proche du Paradoxe de Russell. En effet, en adaptant la démonstration du Théorème de Cantor à ce cas particulier, on construit une réciproque à gauche f de l'identité de P(V) dans V, et on considère l'ensemble {x ∈ V | x ∉ f(x)}, dont l'intersection avec P(V) est {x ∈ P(V) | x ∉ x}. Bertrand Russell a déclaré d'ailleurs qu'il était arrivé à son paradoxe en analysant la preuve du théorème de Cantor. Le paradoxe de Russell a l'avantage de ne pas faire appel à l'ensemble des parties d'un ensemble, et de mieux isoler la raison du paradoxe, qui est la compréhension non restreinte. Pour le paradoxe de Cantor on l'utilise pour en déduire que V la classe de tous les ensembles est un ensemble, ce qui n'est pas possible dans les théorie des ensembles usuelles, mais aussi pour en déduire l'existence de l'ensemble des parties d'un ensemble, ce qui par contre y est licite (c'est l'axiome de l'ensemble des parties), de façon compatible avec l'analyse de Cantor, qui ne présente d'ailleurs pas ce résultat comme un paradoxe (pour plus de détails voir l'article sur le paradoxe de Burali-Forti). NotesArticles connexesRéférences - (de)Georg Cantor Briefe, Herbert Meschkowski et Winfried Nilson (ed.), Springer 1991 ISBN 3-540-50621-7.
- (en) A source Book in Mathematical Logic 1879-1931, Heijenoort J. van (ed.), (Harvard Univ. Press, Cambridge, 1967), ISBN 0-674-32450-1, ISBN 0-674-32449-8.
- (en) Bertrand Russell (1903), The principles of mathematics,§§ 346-347, vol 1, Cambridge Univ. Press (version en ligne disponible, incomplète au 4 janvier 2007), en fac simile sur le site de l'université du Michigan.
- Bertrand Russell (1906), Les paradoxes de la logique, revue de métaphysique et de morale 14, VOL 5, pp627-650 (1906) ; accessible sur le site de la BNF, au format "image" [#] (24 pages).
- Jean Cavaillès, Philosophie mathématique, Hermann 1962, contient, entre autres, les Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles de 1938, et une traduction de la correspondance Dedekind-Cantor qui avait été rassemblée et publiée par Jean Cavaillès et Emmy Noether en 1937.
- Philippe de Rouilhan, Russell et le cercle des paradoxes, Puf, coll. Épiméthée, 1996 pp.23-26.
- (en) Justin T Miller -- An historical account of set-theoretic antinomies caused by the axiom of abstraction [#] visitée le 24/09/2006
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