En
Mathématiques, la fonction
peigne de Dirac, ou fonction shah (d'après la lettre
cyrillique Ш), est une somme de
fonctions de Dirac espacées de T :
| δ T (t) stackrel{def}{ = } | ∞
Σ
k = - ∞
| δ(t - k T) |
Cette fonction est particulièrement utile dans les problèmes d'échantillonnage, remplacement d'une fonction continue par une suite de valeurs de la fonction séparées par un pas de temps T (voir Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).
Séries de Fourier
Cette fonction est
T-périodique, on peut donc calculer la série de Fourier associée. La
Série de Fourier complexe d'une telle fonction s'écrit :
| δ T (t) = | + ∞
Σ
n = - ∞
| c n e i 2 π n t / T |
où les coefficients de Fourier cn sont
- {|
|- |
c n |
| = | 1
––
T | ∫ | t 0 + T
t 0 | δ T (t) e - i 2 π n t / T dt ( - ∞ < t 0 < + ∞ ) |
|- | |
| = | 1
––
T | ∫ | T / 2
- T / 2 | δ T (t) e - i 2 π n t / T dt |
|- | |
| = | 1
––
T | ∫ | T / 2
- T / 2 | δ(t) e - i 2 π n t / T dt |
|- | |
|- | |
|}
La série s'écrit donc :
| δ T (t) = | 1
––
T | ∞
Σ
n = - ∞
| e i 2 π n t / T |
.
En oubliant toute rigueur, on peut constater que les termes complexes de la série sont représentés dans le plan complexe par des vecteurs unités en rotation. Si t est un multiple de la période T, on obtient une somme d'une infinité de termes égaux à un ; sinon les vecteurs tournent indéfiniment autour du zéro en donnant une somme nulle.
Propriété fondamentale du peigne de Dirac
La propriété fondamentale de la
fonction de Dirac| ∫ | + ∞
- ∞
| x (t) δ(t-t 0 ) dt = x (t 0 ) |
conduit à la propriété fondamentale du peigne
| ∫ | + ∞
- ∞
| x (t) δ T (t) dt = | + ∞
Σ
n = - ∞
| x (nT) |
Le calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles est équivalent au calcul de l'intégrale de la fonction multipliée par un peigne de Dirac.