En
Mathématiques, pour une application
f d’un
Ensemble E dans lui-même, un élément
x de
E est un
point fixe de f si
f(x) = x.
Exemples :
- dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A
- l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1
Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtiennent en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.
Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x+1 n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1.
Point fixe et suites récurrentes
On considère la fonction
continue f : E ↦ E et
(un) la suite récurrente définie par sa valeur initiale
u0 et par la relation de récurrence
un+1=f(un). Dans ce cas, si
(un) converge, elle le fait nécessairement vers un point fixe de
f.
Il faut noter qu’une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.
Point fixe attractif
Un
point fixe attractif d’une application
f est un point fixe
x0 de
f tel qu’il existe un
Voisinage de
x 0 sur lequel la suite de nombre réels
| x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), | .
s
|
converge vers
x 0 .
Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe, qui est attractif.
Cependant, tous les points fixes d’une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle x ↦ x 2 +x possède un unique point fixe en 0, qui n’est pas attractif.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d’Attracteur.
Théorèmes du point fixe
Il existe plusieurs
théorèmes permettant de déterminer qu’une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :
Soit E un Espace métrique complet muni d’une distance d et f : E ↦ E une application contractante (c’est-à-dire qu’il existe k ∈ [0,1[ tel que pour tous (x,y) ∈ E 2 , d (f (x),f (y)) ≤ k.d (x,y)). Alors f possède un unique point fixe l.
Ce résultat permet de dire que toute suite de la forme u n + 1 = f (u n ) converge vers l et que d (u n ,l) ≤ k n d (u 0 ,l), ce qui permet d’avoir une estimation de la vitesse de convergence de la suite.
Utilisation en automatique
L’
Automatique consiste à fabriquer des systèmes qui convergent vers un point fixe (mais réglé arbitrairement par l’opérateur) et qui se nomme le
point de consigne.
Voir aussi