En Mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui ont été nommés ainsi en l'honneur de Charles Hermite. Ils sont définis comme suit :

H n (x) = (-1) n e x 2 /2

d n ––––– dx n

e - x 2 /2

(forme dite probabiliste)

⌃ H

n (x) = (-1) n e x 2

d n ––––– dx n

e - x 2

(forme dite physique)

Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante:

⌃ H

n (x) = 2 n / 2 H n

(

√

–– 2

x

)

!

.

Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :

H ₀ (x) = 1~

H ₁ (x) = x~

H ₂ (x) = x ² -1~

H ₃ (x) = x ³ -3x~

H ₄ (x) = x ⁴ -6x ² +3~

H ₅ (x) = x ⁵ -10x ³ +15x~

H ₆ (x) = x ⁶ -15x ⁴ +45x ² -15~

⌃ H	0 (x) = 1~

⌃ H	1 (x) = 2x~

⌃ H	2 (x) = 4x 2 -2~

⌃ H	3 (x) = 8x 3 -12x~

⌃ H	4 (x) = 16x 4 -48x 2 +12~

⌃ H	5 (x) = 32x 5 -160x 3 +120x~

⌃ H	6 (x) = 64x 6 -480x 4 +720x 2 -120~

On peut démontrer que dans {H _p }~ les coefficients d'ordre ayant la même parité que p-1~ sont nuls et que les coefficients d'ordre p~ et p-2~ valent respectivement 1~ et -p (p-1)/2~ .

Orthogonalité

H _n est un polynôme de degré n. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure μ de densité

d μ(x) –––––––– dx

=

e - x 2 /2 ––––––––– √(2 π)

.

Ils vérifient :

∫

+   ∞   -   ∞

H n (x)H m (x) e - x 2 /2 dx = n!

√

––––– 2 π

~ δ nm

où δ _nm est le Symbole de Kronecker. Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'Espace de Hilbert L ₂ (C, μ) des fonctions boréliennes telles que:

∫

+   ∞   -   ∞

f (x) 2

e - x 2 /2 ––––––––– √(2 π)

dx< + ∞,

dans lequel le Produit scalaire est donné par l'intégrale

〈 f,g 〉 =  ∫

+   ∞   -   ∞

f (x)

––––––– g (x)

e - x 2 /2 ––––––––– √(2 π)

dx.

Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes de Hermite sous leur forme physique.

Diverses propriétés

Le n-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique):

H _n (x)-xH _n '(x)+nH _n (x) = 0.

⌃ H

n (x)-2x

⌃ H

n '(x)+2n

⌃ H

n (x) = 0.

Les polynômes satisfont la propriété

H _n '(x) = nH _{n - 1} (x),

⌃ H

n '(x) = 2n

⌃ H

n - 1 (x),

que l'on peut écrire ainsi

H n (x+y) =

n Σ k = 0

(

n k

)

x k H n-k (y)

⌃ H

n (x+y) =

n Σ k = 0

(

n k

)

(2x) k

⌃ H

n-k (y)

Ils vérifient donc la relation de récurrence suivante :

H _{n + 1} (x) = xH _n (x) - nH _{n - 1} (x),

⌃ H

n + 1 (x) = 2x

⌃ H

n (x) - 2n

⌃ H

n - 1 (x).