Un
pré-ordre (ou
préordre) est une
Relation binaire réflexive et
transitive.
C'est-à-dire, si E est un Ensemble, alors {R ⊆ E × E est un pré-ordre si et seulement si :
- ∀ x ∈ E, (x,x) ∈{R (réflexivité)
- ∀ (x, y, z) ∈ E 3 (transitivité)
Un pré-ordre antisymétrique est un ordre.
Un pré-ordre symétrique est une relation d'équivalence.
Exemples
- Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un pré-ordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.
- Dans un Anneau commutatif, la relation «divise» est une relation de préordre.
Compléments
Si
E et
F sont des ensembles préordonnés par des relations de préordre qu'on notera toutes deux
≤ , une application
f de
E dans
F est dite
croissante si, pour toute paire d'éléments
(x,y) de
E tels que
x ≤ y, on a aussi
f (x) ≤ f (y).
Dans un ensemble E préordonné par une relation de préordre ≤ , la relation « x ≤ y et y ≤ x » est une relation d'équivalence. Pour deux éléments X et Y de l'ensemble quotient, les deux conditions suivantes reviennent au même :
- pour tout élément x de X et tout élément y de Y, x ≤ y;
- il existe un élément x de X et un élément y de Y tels que x ≤ y.
Ces conditions équivalentes constituent une relation d'ordre dans l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence « x ≤ y et y ≤ x ».
Notes et références