En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le
produit libre M de deux ou plusieurs groupes G, H, etc., est un groupe qui permet d'exprimer les
homomorphismes de G, H, etc. dans un même groupe comme homomorphisme du produit libre M dans ce groupe.
Plus précisément, si G et H sont deux groupes, le produit libre G*H est un groupe, dans lequel les groupes G et H s'injectent (i: G->G*H et j: H->G*H), et qui défini par la propriété universelle suivante :
Pour tout groupe I, pour tous les homomorphismes de groupes g: G -> I et h: H -> I , il existe un unique morphisme f: G*H -> I qui prolonge à la fois h et g (au sens où pour tout x dans G, f(i(x))=g(x) et pour tout x dans H, f(j(x))=h(x)). Cette propriété définit G*H de manière unique à isomorphisme près.
La définition s'étend de manière analogue pour plusieurs groupes. Autrement dit, le produit libre est le coproduit dans la catégorie des groupes.
Une manière de se représenter G*H est de considérer l'ensemble des mots formés par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H. Un élément typique de G*H s'écrira (g 1 ,h 1 ,g 2 ,h 2 ,...,g n ,h n ) (ou encore (g 1 ,h 1 ,g 2 ,h 2 ,...,h n - 1 ,g n ), ou (h 1 ,g 1 ,h 2 ,...g n - 1 ,h n ), ou enfin (h 1 ,g 1 ,h 2 ,...h n ,g n )). On définit le produit de deux tels mots par juxtaposition (et simplification (..., h n )(h ' 1 ,..) = (..., h n h ' 1 , ...) par exemple).
On peut montrer par exemple qu'un Groupe libre est le produit libre de groupes cycliques infinis.
Références
- Thomas Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 67-68.
- Serge Lang, Algèbre