En géométrie vectorielle, le
produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux
vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle :
longueurs,
angles,
Orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.
Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (cf Espace vectoriel), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints (ou couple ordonné de points, cf Vecteur), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique , (objet de l'article Espace préhilbertien) et une manière géométrique, à l'aide de bipoints.
L'objectif de cet article est de présenter le produit scalaire de manière géométrique dans un espace euclidien traditionnel et de montrer comment cette notion peut s'étendre à tout espace vectoriel.
Aperçu des applications du produit scalaire
Le produit scalaire possède de multiple applications. En
Physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le
Travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère
perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan. Ce domaine est le sujet de cet article. Dans le cas de la dimension finie quelconque, il dispose de nombreuses applications algébriques : il permet de classifier les
quadriques, offre des outils pour la réduction d'endomorphismes ou encore est à la base de multiples techniques
statistiques comme la méthode des moindres carrés ou l'analyse en composantes principales. En géométrie, il confère à l'espace vectoriel une structure d'
Espace métrique disposant de nombreuses propriétés comme la
complétude. Ces applications sont traitées dans les articles
Espace euclidien et
Espace hermitien. Le produit scalaire est aussi utilisé dans des espaces de dimension infinie, il permet alors de résoudre des équations aux dérivées partielles. La théorie devient plus subtile et de nombreux résultats, vrais en dimension finie, prennent une autre forme. Cet aspect du produit scalaire est traité dans les articles Espace préhilbertien et
Espace de Hilbert.
Enfin, l'article géométrie euclidienne propose une synthèse de l'histoire, des implications et applications du produit scalaire en dimension finie.
Fragments d'histoire
Élement important de calcul en géométrie euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques. On en trouve trace chez Hamilton en 1843 lorsqu'il crée le corps des
quaternions.
Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et
Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donne le nom de produit intérieur ou produit scalaire. C'est sous cette forme qu'il apparaît par la suite. Sa qualité de
Forme bilinéaire symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire et, de propriété, deviendra définition.
La notation du produit scalaire à l'aide d'un point ou d'une croix provient de Josiah Willard Gibbs, dans les années 1880.
Définitions et premières propriétés
Dans cette section, on considèrera un espace traditionnel tel qu'il est défini par Euclide : plan ou espace formé de points dans lequel les notions de distance et d'angle sont connues. On sait aussi calculer le cosinus de tout angle géométrique. Sont également utilisables le théorème de Pythagore, celui d'Al-Kashi et le théorème de Thalès. La construction géométrique des vecteurs dans un tel espace est détaillée dans l'article
Vecteur.
Soit deux vecteurs représentés par des bipoints de mêmes origines (O,A) et (O,B). De tels représentants existent quel que soit le choix des vecteurs. Dans le reste de l'article, la longueur du bipoint (O,A) est notée OA ou parfois |OA|, c'est donc un Nombre réel positif.
- Définition :
- Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le nombre réel OA.OB.cos(θ) si l'angle θ désigne celui de AOB. Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul. Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition prend la forme suivante :
→
OA
| . | →
OB
| = OA × OB × cos | ( | ︿
AOB
| ) |
Ici cos désigne la fonction mathématique cosinus et représente l'angle géométrique de sommet O dessiné par les point A, O et B.
Dans le cas où les deux vecteurs sont égaux, la notation suivante est utilisée :
La valeur du produit scalaire correspond alors à l'aire d'un carré de coté
OA.
- Définition :
- La norme euclidienne d'un vecteur représenté par un bipoint AB est la distance qui sépare A de B. Elle est égale à la Racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même. Elle est en général notée .
Une inégalité évidente est vérifiée par le produit scalaire ainsi défini :
- Inégalité de Cauchy-Schwarz
- Soit O, A et B trois points du plan, la valeur absolue du produit scalaire des deux vecteurs d'extrémités O, A et O, B est toujours inférieur ou égal au produit des normes des deux vecteurs. Cette majoration s'écrit :
| | | →
OA
| • | →
OB
| | | | →
OA
| | • | | →
OB
| | |
L'égalité a lieu si et seulement si les trois points sont alignés. Cette majoration provient du fait que la fonction
cosinus prend ses valeurs dans l'intervalle d'extrémité 1 et -1. Pour que l'égalité ait lieu, il faut et il suffit que le cosinus ait pour valeur soit 1 soit -1, c'est à dire que l'angle soit nul ou plat. Ce qui signifie bien que les trois points sont alignés. Une fois encore, cette inégalité est l'objet de l'article Inégalité de Cauchy-Schwarz, l'article suppose encore une formalisation algébrique différente de celle choisie ici.
Propriétés géométriques
Projeté
La définition précédente suppose connue la définition de la fonctions cosinus. Il est possible d'éviter de faire appel à cette fonction.
Soit A, B et C trois points distincts, la Trigonométrie du triangle rectangle permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale. En effet, si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), le produit scalaire est alors en Valeur absolue égal au produit de |AH| par |AB|. Si A se trouve entre H et B, le produit scalaire est négatif et positif sinon. On remarque que si H est confondu avec A, alors le produit scalaire est nul.
Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le Travail d'une force lors d'un déplacement : Le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans l'illustration, ce travail est égal à - |AB| × |AH|.
Théorème d'Al-Kashi
Article détaillé : . Il existe une manière plus générale d'exprimer le théorème de Pythagore. Elle traite le cas d'un triangle quelconque. Avec les notations de la figure de droite, ce résultat, nommé théorème d'Al-Kashi s'exprime de la manière suivante :
| c 2 = a 2 +b 2 -2ab cos γ text {ou encore } ab cos γ = | 1
––
2 | ( a 2 + b 2 - c 2 ) |
La démonstration se trouve dans l'article détaillé. Ce résultat s'exprime en terme de produit scalaire :
- Théorème d'Al-Kashi
- Soit A, B et C trois points quelconques, alors la formule suivante est toujours vérifiée :
→
AB
| . | →
AC
| = | 12
–––
| ( | →
AB
| 2 + | →
AC
| 2 - | →
BC
| 2 | ) |
Le caractère plus général de cette formulation permet d'expliciter et de démontrer simplement les propriétés algébriques du produit scalaire.
Produit scalaire comme une aire
L'expression par le produit scalaire du théorème d'Al-Kashi suggère une formulation du produit scalaire en terme d'aire. Le produit scalaire, en utilisant les notations du paragraphe sur le projeté, correspond à l'aire du rectangle de base AH et de hauteur AB.
Considérons le produit scalaire dans un plan orienté, de x vers y dans la figure de droite. Le produit scalaire des vecteurs x et y est égal à l'aire orientée du parallélogramme construit grâce aux vecteurs y et xr. Le vecteur xr est l'image du vecteur x par une rotation d'angle droit direct. Cette approche est celle de Peano. Pour ce faire, il utilise un outil appelé déterminant, et utilise la formulation suivante du produit scalaire, par construction géométrique, équivalente à celle de l'article :
x • y = det(y • x r ) Sur le dessin, les parallélogrammes ont été déformés en rectangle de même aire par la propriété de cisaillement. L'aire verte correspond à un produit scalaire positif et l'aire rose à un produit scalaire négatif.
Cette forme géométrique possède un avantage certain, elle permet d'établir les propriétés algébriques du produit scalaire. Ces propriétés sont utiles, à la fois pour établir une expression analytique utile à la résolution de nombreux problèmes et pour établir une nouvelle formulation à la fois plus générale et plus opérationnelle.
Orthogonalité, colinéarité et angle
De telles définitions du produit scalaire donnent des outils intéressants pour vérifier une orthogonalité, une colinéarité ou déterminer un angle géométrique.
Orthogonalité : les vecteurs
et
sont orthogonaux si l'un ou l'autre des vecteurs est nul ou si l'angle géométrique AOB est droit. En terme de produit scalaire, cela se traduit par une seule condition
et
sont orthogonaux si et seulement si
Colinéarité : les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si les points O, A et B sont sur une même droite. En terme de produit scalaire, cela se traduit par et sont colinéaires si et seulement si
Angle géométrique : Si et sont deux vecteurs non nuls, l'angle géométrique AOB est déterminé par l'égalité | cos | ( | ︿
AOB
| ) | = | (OA) → . (OB) →
–––––––––––––––––––––
OA × OB |
Propriétés algébriques
Pour une raison de simplicité, d'autres notations sont utilisées. Les vecteurs ne sont plus notés comme des bipoints, comme par exemple
mais simplement avec une lettre :
. Le produit scalaire est alors toujours noté par un point :
. Il arrive aussi que les vecteurs soient notés sans flèches, pour éviter la confusion entre le produit d'un scalaire par un vecteur et le produit scalaire entre deux vecteurs, le produit scalaire est alors noté (
u ,
v) ou encore
〈 u | v 〉. Une convention, pas toujours suivie consiste à choisir des lettres grecques pour les scalaires, permettant ainsi d'éviter des confusions. Dans la suite de l'article, la convention suivie est celle du vecteur surmonté d'une flèche et du produit scalaire noté par un point.
Le terme de produit scalaire suggère l'existence d'une opération qui, à deux vecteurs, associe un scalaire. Dans un espace vectoriel, les scalaires sont les coefficients par lesquels on a le droit de multiplier les vecteurs. Dans une approche élémentaire, ces scalaires sont des réels. Le fait d'appeler cette opération un produit suggère l'existence de propriétés que l'on attend généralement d'un produit (commutativité, distributivité par rapport à l'addition...).
Symétrie
La
symétrie est une propriété qui s'applique aux fonctions de deux variables prises dans un même ensemble. Soit un ensemble
E et une fonction
f définie dans
E×
E. Elle est dite symétrique si et seulement si :
∀ x,y ∈ E f (x,y) = f (y,x) Le cadre de cette définition est celui du produit scalaire, qui à deux vecteurs associe un nombre.
Comme la longueur du segment est celle du segment , le théorème d'Al-Kashi établit la symétrie du produit scalaire :
- Symétrie du produit scalaire
- Le produit scalaire défini sur un espace vectoriel E est symétrique, c'est à dire que la proposition suivante est toujours vérifiée :
| ∀ | →
x
| , | →
y
| ∈ E | →
x
| • | →
y
| = | →
y
| • | →
x
|
Bilinéarité
Le produit scalaire dans un espace vectoriel E est compatible à droite avec l'addition. Cette propriété signifie que le produit scalaire d'un vecteur par une somme de deux vecteurs est égal à la somme des deux produits scalaires :
| ∀ | →
x
| , | →
y
| , | →
y
| ' ∈ E | →
x
| • | ( | →
y
| + | →
y
| ' | ) | = | →
x
| • | →
y
| + | →
x
| • | →
y
| ' |
La figure de gauche illustre cette compatibilité. Elle est la conséquence du fait que la translation laisse invariante l'aire d'une surface. Une application de cette nature, laissant invariant les angles, les longueurs et par voie de conséquence les surfaces est appelée Isométrie. Le rectangle vert a pour surface le produit scalaire de avec , le rectangle bleu a pour surface le produit scalaire de avec . La somme des deux surfaces est bien égale à la surface du rectangle orange qui est le produit scalaire de avec . En effet, la translation laisse invariante la surface. L'égalité recherchée est bien vérifiée.
La symétrie du produit scalaire ainsi que la compatibilité à droite démontre la compatibilité à gauche de l'addition :
| ∀ | →
x
| , | →
x
| ', | →
y
| ∈ E | ( | →
x
| + | →
x
| ' | ) | • | →
y
| = | →
x
| • | →
y
| + | →
x
| ' • | →
y
|
Il est de même possible de parler de compatibilité à droite pour le produit par un scalaire. Cette propriété prend la forme suivante :
| ∀ | →
x
| , | →
y
| ∈ E ∀ λ ∈ R | →
x
| • | ( | λ • | →
y
| ) | = λ • | ( | →
x
| • | →
y
| ) |
Le point désigne ici à la fois la multiplication par un scalaire et le produit scalaire. L'usage des flèches ainsi que des lettres grecques pour désigner des nombres permet d'éviter l'ambigüité.
Cette compatibilité est une conséquence du théorème de Thalès. La figure de droite illustre cette propriété. Le rectangle violet possède une hauteur égale à celle du triangle vert, et sa base est égale à OD. Les deux triangles OAB et OCD sont semblables il est donc possible d' appliquer le théorème de Thalès, il démontre que comme OC = λ⋅OA, alors OD = λ⋅OB. Sa surface est donc bien multipliée par λ.
Comme précédemment, la symétrie possède pour conséquence la compatibilité à gauche :
| ∀ | →
x
| , | →
y
| ∈ E ∀ λ ∈ R | ( | λ • | →
x
| ) | • | →
y
| = λ • | ( | →
x
| • | →
y
| ) |
Ainsi, l'application, pour un qui au vecteur associe le nombre vérifie la propriété suivante :
| ∀ | →
x
| , | →
y
| , | →
y
| ' ∈ E ∀ λ, λ ' ∈ R | →
x
| • | ( | λ • | →
y
| + λ ' • | →
y
| ' | ) | = λ | ( | →
x
| • | →
y
| ) | + λ ' | ( | →
x
| • | →
y
| ' | ) |
On dit alors que l'application produit scalaire est
linéaire à droite, elle est de même
linéaire à gauche. Une telle application est dite bilinéaire. L'application a pour valeurs des nombres, on parle alors de
forme.
- Bilinéarité : le produit scalaire est une Forme bilinéaire.
Caractère défini positif
Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal à l'aire d'un carré de coté la longueur d'un de ses représentants. En conséquence, le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est toujours positif. Cette valeur est nulle si et seulement si le vecteur est nul car seul le vecteur nul possède un représentant de longueur nulle. On en déduit la proposition suivante :
- Une forme à deux variables est dite définie positive si et seulement si son image par deux éléments identiques est toujours positive. Elle est nulle si et seulement si le vecteur est nul. Le produit scalaire est une forme définie positive.
Bilan
Un produit scalaire est une
forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel sur les nombres réels.
Expression analytique
Base orthonormale
Article détaillé : .Dans un espace vectoriel de dimension deux ou trois, les propriétés algébriques permettent l'expression du produit scalaire à l'aide d'un système de coordonnées. Elle est plus simple si la base est choisie orthonormale, c'est à dire si ses vecteurs sont tous de norme égal à un et s'ils sont tous orthogonaux deux à deux. Par exemple en dimension trois, si la base orthonormale est notée (, , ), si les deux vecteurs et ont pour coordonnées respectives : (x1, x2, x3) et (y1, y2, y3), on obtient alors la formule :
→
x
| • | →
y
| = x 1 • y 1 + x 2 • y 2 + x 3 • y 3 |
Elle s'obtient à partir du développement des deux vecteurs dans la base :
→
x
| • | →
y
| = | ( | x 1 | →
e 1
| + x 2 | →
e 2
| + x 3 | →
e 3
| ) | • | ( | y 1 | →
e 1
| + y 2 | →
e 2
| + y 3 | →
e 3
| ) |
La bilinéarité et la symétrie montre que :
→
x
| • | →
y
| = x 1 • y 1 | →
e 1
| • | →
e 1
| + x 2 • y 2 | →
e 2
| • | →
e 2
| + x 3 • y 3 | →
e 3
| • | →
e 3
| + 2 | ( | x 1 • y 2 | →
e 1
| • | →
e 2
| + x 1 • y 3 | →
e 1
| • | →
e 3
| + x 2 • y 3 | →
e 2
| • | →
e 3
| ) |
Or
est égal à
un car la base est normée et si
i est différent de
j alors
est nul car la base est orthogonale.
Ecriture matricielle
Article détaillé : . Il existe une manière simple d'exprimer le produit scalaire, à l'aide de matrice. les deux vecteurs
et
du paragraphe précédent prennent alors la forme suivante :
Les matrices
X et
Y représentent les deux vecteurs. A l'aide de l'opération
transposée et de la multiplication des matrices, on obtient l'égalité :
| | . | | = x 1 • y 1 + x 2 • y 2 + x 3 • y 3 |
Base quelconque
Si la base (
,
,
) est choisie quelconque, l'expression du produit scalaire est plus complexe. Notons (φ
1, φ
2, φ
3) et (ψ
1, ψ
2, ψ
3) les coordonnées des vecteurs
et
dans cette nouvelle base. On a alors les égalités :
| | | | , n M = | | | n text {avec } | →
x
| • | →
y
| = t Φ • M • Ψ n |
|
La matrice
M possède de nombreuses propriétés, elle est
symétrique suivant une diagonale, elle est donc diagonalisable, ses valeurs propres sont toutes strictement positives. Une telle matrice est dite matrice définie positive.
On montre que la donnée d'une matrice définie positive dans un espace vectoriel réel de dimension n est une façon de définir un produit scalaire.
Structures induites ou dérivées
Espace préhilbertien
Article détaillé : .Un espace préhilbertien est un espace vectoriel réel ou complexe que l'on a muni d'un produit scalaire. La définition du produit scalaire quitte alors le champ de la géométrie traditionnelle.
Produit scalaire réel
Les propriétés algébriques vues dans le cas de la dimension 2 ou 3 sont suffisantes pour définir un produit scalaire dans un espace vectoriel réel quelconque.
Soit E un Espace vectoriel réel.
On dit qu'une application φ :
- E × E → R
- (x,y) ↦ (x|y)
est un produit scalaire si elle est :
- bilinéaire : φ est linéaire relativement à chaque argument (l'autre étant fixé).
- symétrique : ∀ x,y ∈ E (y|x) = (x|y)
- positive : ∀ x ∈ E (x|x) ≥ 0
- définie : (x|x) = 0 ⇒ x = 0
Il est naturel de se poser la question réciproque : Est-il possible de définir une géométrie à l'aide d'un espace vectoriel et d'un produit scalaire ? La longueur est alors donnée par la norme, et l'angle θ entre deux vecteurs et par la formule :
| θ = arccos | ( | (x) → • (y) →
–––––––––––––––––––––––––––––––––
| (x) → @• | (y) → | | ) |
Une telle géométrie vérifie les inégalités triangulaires et de Cauchy-Schwarz, le théorème de Thalès, de Pythagore, ses isométries sont les
rotations et les symétries.
Produit scalaire hermitien
Pour adapter cette définition aux espaces vectoriels complexes, nous avons besoin de la
notion de « semi-linéarité »:Une application f d'un espace vectoriel complexe E dans C est dite semi-linéaire si elle vérifie :
- ∀ x,y ∈ E f (x+y) = f (x) + f (y)
| ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ C f ( λ x) = | ––
λ
| f (x) |
Soit donc maintenant E un Espace vectoriel complexe.
On dit qu'une application φ :
- E × E → C
- (x,y) ↦ (x|y)
est un produit scalaire hermitien (ou simplement un produit scalaire) si elle est :
- sesquilinéaire : c'est-à-dire
- * linéaire relativement au second argument (le premier étant fixé)
- * semi-linéaire relativement au premier argument (le second étant fixé)
- symétrique hermitienne :
| ∀ x,y ∈ E (y|x) = | –––––––
(x|y)
|
- positive : ∀ x ∈ E (x|x) ∈R +
- définie : (x|x) = 0 ⇒ x = 0
Remarque : la convention de linéarité à droite, semi-linéarité à gauche n'est pas universelle, certains auteurs utilisent la convention inverse. Dans un espace vectoriel complexe, muni d'un tel produit scalaire,sont encore vérifiés le théorème de Pythagore, l'inégalité de Cauchy-Schwartz, l'inégalité triangulaire
Exemples
- Dans l'espace R n , on définit le produit scalaire canonique : ( (x 1 ,...,x n ) | (y 1 ,...,y n ) ) = x 1 y 1 + … + x n y n .
- Dans l'espace C n , on définit le produit scalaire canonique :
| ( (z 1 ,...,z n ) | (w 1 ,...,w n ) ) = | –––
z 1
| w 1 + … + | –––
z n
| w n |
.
- Soit E le R -ev des fonctions continues de l'intervalle dans R.
- L'application
| φ : E × E → R , (f, g) ↦ ∫ | b
a | f.g |
est un produit scalaire sur E.
- Soit E = C (,C) le C -ev des fonctions continues de l'intervalle dans C,
- L'application :
| φ : E × E → C , (f, g) ↦ (f|g) = ∫ | b
a | ––
f
| .g |
est un produit scalaire sur E. - Remarque : Si , au lieu de travailler sur des fonctions continues, on travaille sur des fonctions continues par morceaux, la forme bilinéaire construite est bien positive mais n'est pas définie : (f|f) = 0 implique que f est nulle sauf sur un nombre fini de points.
Espace euclidien
Article détaillé : . Un espace euclidien est un espace vectoriel sur
R , généralement défini de manière axiomatique de dimension finie et muni d'un produit scalaire.
Un tel espace possède de nombreuses propriétés à la fois algébriques et géométriques. Le produit scalaire met en évidence des applications linéaires particulières aux propriétés multiples. Elles permettent, entre autre, de définir de nombreuses structures additionnelles, souvent elles aussi euclidiennes. Elle offre un cadre géométrique qui permet de généraliser bon nombre de résultats vrais sur les nombres réels. Il devient ainsi possible d'appliquer des résultats de l'Analyse réelle à la géométrie différentielle.
Espace hermitien
Article détaillé : .Un espace hermitien est un espace vectoriel défini sur les nombres complexes et disposant d'un produit hermitien, correspondant à une généralisation du cas réel. Le terme de produit scalaire est aussi utilisé dans ce contexte. Les résultats et propriétés des espaces euclidiens se traduisent souvent simplement dans cet espace.
Espace de Hilbert
Article détaillé : . Un espace de Hilbert peut être réel ou complexe. Il correspond exactement aux deux cas précédent, à la différence que la dimension n'est pas nécessairement finie. Si la théorie et les démonstrations sont différentes de la situation en dimension finie, certains résultats se généralisent. Une hypothèse topologique est néanmoins souvent nécessaire, celle de la
complétude de l'
Espace métrique associé. Pour cette raison, un espace de hilbert est par définition complet.
Cet espace est utilisé pour résoudre des problèmes d'analyse fonctionnelle, particulièrement des équations aux dérivées partielles.
Voir aussi
Articles connexes
Sources
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