. Ainsi le nombre 3 est une racine carrée de 9 puisque
. Mais son opposé, -3, est également une racine carrée de 9.
La notion de racine carrée se généralise à d'autres ensembles de nombres, ainsi tout Nombre complexe non nul admet deux racines carrées. On peut la définir de façon générale dans le cadre des anneaux, par exemple des anneaux de matrices.
. Cette fonction s’appelle la
. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un
du plan euclidien est la longueur de ses côtés.
La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs
| < 1. === Construction géométrique de la racine carrée ===
.
.
Les racines carrées de nombres complexes
Article détaillé : . La racine carrée sur
R est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donnent des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des
nombres complexes a été introduit.
Pour tout nombre complexe non nul z, il existe exactement deux nombres complexes w tels que w 2 = z. Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée R + → R + en une fonction continue f : C → C vérifiant f (z) 2 = z.
On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de C toute fonction continue f : U → C vérifiant f (z) 2 = z. Cet ouvert U doit nécessairement éviter une demi-droite d’origine O. Par les propriétés des fonctions holomorphes, toute détermination d’une racine carrée est une fonction holomorphe (c'est-à-dire, développable en séries entières).
La détermination principale de la racine carrée est la fonction C → C ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique z = r e i ϕ avec - π < ϕ ≤ π , alors on pose √
| ––
z
| = | √
| ––
r
| e | i ϕ
– – – – –
2 | |
. Cette détermination principale n’est pas continue en aucun point de la demi-droite des réels négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.
Quand le nombre est dans sa forme algébrique, on a :
√
| –––––
x+iy
| = | √
| –––––––––––––––––––
(|x+iy| + x)/2
| ± i | √
| –––––––––––––––––––
(|x+iy| - x)/2
|
où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial (si elle est nulle, on prend par convention le signe +).
Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation devient fausse en général.
Extension des racines carrées en algèbre
Soient
x et
a deux éléments d’un anneau
A, tels que
x 2=
a. L'élément
x est alors une racine carrée de
a. En général (notamment si l'anneau n'est pas
intègre, ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées.
Les racines carrées de matrices et d’opérateurs
Article détaillé : .Si A est une Matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif B tel que B 2 = A. On pose alors : √A = B.
Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B 2 = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un Espace de Hilbert.
En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des opérateurs développent d’avantage ces aspects.
Extraction de racines carrées
Un premier algorithme
Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrée d’un nombre. Évidemment, si la racine carrée n’est pas un
Nombre décimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du résultat : la suite des chiffres est exacte.
Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la même façon que lorsque nous effectuons une division selon la méthode classique ; la racine carrée sera inscrite au-dessus de ce nombre.
À chaque étape :
- on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d’un reste éventuel de l'étape précédente ;
- soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand Chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée ;
- on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;
- si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre à abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence.
Exemple :
√
| –––––––––––
152,2756
| = 12,34 |
(nota : la suite des chiffres en gras s'inscrit au fur et à mesure au dessus du nombre initial, au dessus de la paire de chiffre traité selon l'algorithme, et donne le résultat : 12,34 . La place de la virgule est significative mais n'a pas besoin d'être prise en compte pendant les calculs, il suffit de la constater à la fin) 1 2 3 4
01 52,27 56 1 r=0 à cette étape
x=1 01 1 y=(20*0+1)1 = 1 <= 01 alors que (20*0+2)* = 4 > 01 donc x = 1
____ __ j'inscris le 1 : r=1 pour l'étape suivante
00 52 2x je pose 01-01=00 et j'abaisse 52 : apparait 52
x=2 00 44 12 y=(20*1+2)2 = 44 <= 52 alors que 20*1+3*3= 69 > 52 donc x = 2
_______ __ j'inscris le 2 : r=12 pour l'étape suivante, 20*r = 240
08 27 24x 52-44 = 08, je pose 08 et j'abaisse 27 : apparait 827
x=3 07 29 123 y=(20*12+3)*3 = 243*3 = 729 < 827 _______ __ j'inscris le 3 : r=123 pour l'étape suivante, 20*r=2460 98 56 246x 827-729 = 98, je pose 98 et j'abaisse 56 : apparait 9856 x=4 98 56 1234 y=(20*123+4)*4 = 9856 _______ j'inscris le 4 : r=1234 00 -- 9856-9856 = 0 et il n'y a plus rien à abaisser : fin de l’algorithme
Vérification : 12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34. = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02) = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004 = 152,2756 Jusqu’au
XIXe siècle on utilisait couramment cet algorithme en accélérant les calculs à l’aide d’un abaque formée d’un jeu de réglettes : les
Bâtons de Napier. Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n’importe quelle base,
base 2 comprise. Dans ce qui précède,
20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par
100. === La méthode de Héron ===
Article détaillé : . La
Méthode de Héron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrées. Son importance est avant tout historique, elle a été développée par les Babyloniens. Elle fournie de bonnes approximations au prix de quelques divisions.
- Prenons la valeur rapprochée u 0 = 1 . On calcule de proche en proche :
-
| u 1 = | 1
––
2 | ( | u 0 + | 2
–––
u 0 | ) |
| u 1 = | 1
––
2 | (1 + 2) = | 3
––
2 | = 1.5 |
| u 2 = | 1
––
2 | ( | u 1 + | 2
–––
u 1 | ) | = | 1
––
2 | ( | 3
––
2 | + | 4
––
3 | ) | = | 17
–––
12 | ≈ 1,4167 |
| u 3 = | 1
––
2 | ( | u 2 + | 2
–––
u 2 | ) | = | 1
––
2 | ( | 17
–––
12 | + | 24
–––
17 | ) | = | 577
–––––
408 | ≈ 1,414 216 |
- On a ainsi obtenu la racine carrée de 2 à la précision 10 -4 .
On peut avoir une approche plus algorithmique en simplifiant cette méthode par la formule de Newton | r = | √
| ––
N
| ≈ | N/r+r
–––––––
2 |
- Prenons de nouveau la valeur rapprochée r = 1 . On calcule de proche en proche :
| r = | √
| ––
2
| ≈ | 2/1+1
–––––––
2 | ≈ 1,5 |
| r = | √
| ––
2
| ≈ | 2/(1,5)+1,5
–––––––––––––––
2 | ≈ 1,4167 |
| r = | √
| ––
2
| ≈ | 2/(1,4167)+1,4167
–––––––––––––––––––––––
2 | ≈ 1,414216 |
- On obtient la racine carrée de 2 à la précision 10 -4 .
- En appliquant cette formule on pourra écrire en langage basic :
- N = 2 /* Nombre dont on cherche la racine carrée
- r = 1 /* r = valeur rapprochée = 1
- DO /* Début de la boucle
- r = (r + (N / r)) / 2 /* Approximation
- PRINT "Racine de ";N;" ~= ";r /* Affichage du résultat
- LOOP /* Fin de la boucle
Calcul par la méthode du goutte à goutte
Article détaillé : .Les racines carrées, approximations entières
Les
concepteurs de présentations de jeux vidéos ont parfois besoin de construire des tables des parties entières des racines carrées des entiers naturels. Les premières sont données par :
| CARRE | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | .. | 15 | 16 | 17 | .. | 24 | 25 | 26 | 27 |
|---|
| RACINE | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | .. | 3 | 4 | 4 | .. | 4 | 5 | 5 | 5 |
|---|
Une observation des premiers termes montrent que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrément de manière régulière. Plus précisément,
- le 0 est répété 1 fois,
- le 1, 3 fois
- le 2, 5 fois
- le 3, 7 fois
- le 4, 9 fois
Le nombre de fois que l’entier
n est répété est le
n-ième entier impair. La preuve repose sur l’identité suivante :
(a+1) 2 -a 2 = 2a + 1
Approximation de à l'aide de suites adjacentes
Soit a un nombre réel strictement positif
Considérons les suites définies par u (0) = 1, v (0) = a, u (n+1) moyenne harmonique de u (n) et v (n), v (n+1) moyenne arithmétique de u (n) et v (n). Les suites u (n) et v (n) sont adjacentes, et convergent vers la même limite : . L'erreur peut même être majorée par la différence v (n)-u (n). Remarquons l'originalité de cette méthode qui mêle moyennes harmonique, géométrique et arithmétique.
Formulaire
L’identité
implique
| 2 = | √
| –––––––––––
2+√(2+2)
|
, et par itérations successives :
| 2 = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––
2+√(2+√(2+√(2+ …) ) )
|
Pour des raisons analogues, on obtient :
| 3 = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––
6+√(6+√(6+√(6+ …) ) )
|
; | 4 = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––––––––
12+√(12+√(12+√(12+ …) ) )
|
; ...
Si r est un entier strictement supérieur à 1,
| r = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
r (r-1)+√(r (r-1)+√(r (r-1)+√(r (r-1)+ …) ) )
|
Plus généralement, si p étant un Nombre réel supérieur ou égal à 1,
√
| –––––––––––––––––––––––––––––
p+√(p+√(p+√(p+ …) ) )
| = | 1+√((4 p+1))
––––––––––––––––
2 |
Si p est égal à 1, on obtient le Nombre d'or:
| ϕ = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––
1+√(1+√(1+√(1+ …) ) )
|
.
Le mathématicien Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition
(n+p) 2 = 1 +
et construisit le produit n (n+p) en fixant p = 2
| n (n+2) = n | √
| –––––––––––––––––––
1 + (n+1)(n+3)
|
Il substitua le terme (n+3)
| n (n+2) = n | √
| ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + (n+1)√(1 + (n+2)(n+4))
|
Ramanujan réitéra à l’infini en remplaçant maintenant n par 1 et obtint la jolie formule :
| 3 = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1+2√(1+3√(1+4√(1+5√(1+ …) ) ) )
|
(bien entendu, il doit ensuite démontrer que le passage à la limite est légal)
En fixant n et p à d’autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, on peut également construire d’autres belles formules comme :
| 4 = | √
| –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1+3√(1+4√(1+5√(1+6√(1+ …) ) ) )
|
En résumé, la relation suivante, itérée à l’infini :
| n+2 = | √
| ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + (n+1)√(1 + (n+2)(n+4))
| = | √
| ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + (n+1)√(1 + (n+2)√(1 + (n+3)(n+5)) )
|
permet donc d’exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées.
En particulier, en fixant n = 0
| 2 = | √
| ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 +√(1 + 2√(1 + 3√(1 + 4√(1 + 5√(1 + 6√(1 + 7√(1 + 8√(1 + 9√{!9!9!9!9!9!9!9!9!9!9!91 + …}!9!9!9!9!9!9!9!9!9!9!9) ) ) ) ) ) ) )
|
(toutes ces formules sont en fait des affirmations sur des limites, qui se démontrent, de manière assez délicate, par encadrements)
Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées :
| π = |
lim
k → ∞ | ( | 2 k • | √
| –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2 -√(2 +√(2 +√(2 + …√(2 +√2 ) ) ) )
| ) |
, où k est le nombre de racines carrées emboitées
Ou encore :
| π = |
lim
k → ∞ | ( | 3 • 2 k - 1 • | √
| ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2 -√(2 +√(2 +√(2 + …√(2 +√(2 +√3 ) ) ) ) )
| ) |
Racines carrées des entiers de un à vingt
- {|≈
Voir aussi
Références
- Smith D.E., History of Mathematics (livre 2)
- Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, seconde édition. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
Liens externes