En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions à valeurs réelles et est une forme faible de la Continuité. Intuitivement, une fonction f à valeurs réelles est dite semi-continue supérieurement en x₀ si, lorsque x est proche de x₀, on a que f(x) est soit proche de f(x₀) soit inférieure à f(x₀). Une fonction à valeurs réelles est dite semi-continue inférieurement si on remplace “inférieure à” par “supérieur à” dans la phrase ci-dessus.

Exemple

Considérons la fonction f(x) = -1 pour x < 0 et f(x) = 1 pour x ≥ 0. Cette fonction est semi-continue supérieurement, mais non semi-continue inférieurement. La fonction Partie entière f (x) = ⌊ x ⌋ , qui retourne le plus grand entier inférieur ou égal au x donné, est partout semi-continue supérieurement.

Définition formelle

Soit X un Espace topologique, x₀ un point de X et f : X → R une fonction à valeurs réelles. On dit que f est semi-continue supérieurement en x₀ si pour tout ε > 0, il existe un Voisinage U de x₀ tel que f(x) < f(x₀) + ε pour tout x de U. De manière équivalente, on peut exprimer ceci par :

limsup x → x 0

f (x) ≤ f (x 0 )

où limsup est la limite supérieure (d'une fonction f au point x₀).

La fonction f est dite semi-continue supérieurement si elle est semi-continue supérieurement en tout point de son ensemble de définition. Une fonction est semi-continue supérieurement si et seulement si {x ∈X : f(x) < α} est un ouvert pour tout α ∈ R.

De même, la semi-continuité inférieure en x₀ s'exprime par :

liminf x → x 0

f (x) ≥ f (x 0 )

et la fonction est semi-continue inférieurement si elle est semi-continue inférieurement en tout point de son domaine de définition. Une fonction est semi-continue inférieurement si et seulement si {x ∈X : f(x) > α} est un ouvert pour tout α ∈ R.

Propriétés

Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est semi-continue supérieurement et inférieurement.

Si f et g sont deux fonctions semi-continues supérieurement en x₀, alors f + g l'est aussi. Si aucune des deux fonctions n'est négative, leur produit fg est également semi-continue supérieurement en x₀. Multiplier une fonction semi-continue supérieurement par un nombre négatif donne une fonction semi-continue inférieurement.

Si C est un compact (par exemple un intervalle fermé ) et f : C → R est semi-continue supérieurement, alors f a une maximum sur C. La propriété est analogue pour les minima d'une fonction semi-continue inférieurement.

Soit f_n : X → R une suite de fonctions semi-continues inférieurement et

f(x) = sup {f_n(x) : n ∈ N} < ∞ pour tout x dans X. Alors f est semi-continue inférieurement. Par contre, même si toutes les fonctions f_n sont continues, f n'est pas obligatoirement continue.

La fonction indicatrice de tout ouvert est semi-continue inférieurement. La fonction indicatrice de tout fermé est semi-continue supérieurement.

On peut démontrer que, dans un Espace de Banach E, pour les fonctions f : E → ]-∞,+∞], convexes, de domaine Dom(f) = {x ∈E : f(x)<+∞} non vide et semi-continues supérieurement, f est continue en x si et seulement si x ∈Int(Dom(f)).