En Algèbre, le terme de somme directe s’applique à plusieurs situations différentes

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Article détaillé: Sous-espaces supplémentaires

Soient F ₁ et F ₂ deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. On dit que F ₁ et F ₂ sont en somme directe si et seulement si pour tout élément u de F ₁ + F ₂ , il existe un unique couple (u ₁ ; u ₂ ) de F ₁ × F ₂ tel que u = u ₁ + u ₂ .

On dit aussi dans ce cas que la somme F ₁ + F ₂ est directe.

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels F ₁ et F ₂ est directe si la décomposition de tout élément de F ₁ + F ₂ en somme d'un élément de F ₁ et d'un élément de F ₂ est unique.

La somme sera alors notée : F ₁ ⊕ F ₂ .

On dispose des caractérisations usuelles suivantes :

• F ₁ et F ₂ sont en somme directe si et seulement si, pour tout u ₁ de F ₁ et u ₂ de F ₂ ,

u ₁ + u ₂ = 0 ⇔ u ₁ = u ₂ = 0

• F ₁ et F ₂ sont en somme directe si et seulement si

F ₁ ∩ F ₂ = {0}

Cas de la dimension finie : lorsque F ₁ et F ₂ sont de dimensions finies, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. La somme F ₁ + F ₂ est directe.
2. dim F ₁ + dim F ₂ = dim(F ₁ + F ₂ ).
3. En juxtaposant ("réunissant") une base de F ₁ et une base de F ₂ , on constitue une base de F ₁ + F ₂ .

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F ₁ et F ₂ de E sont dits supplémentaires lorsque E = F ₁ ⊕ F ₂ . Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple (u ₁ ; u ₂ ) de F ₁ × F ₂ tel que u = u ₁ + u ₂ .

Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de E.

On dit qu'une famille (F _i ) _{i = 1 … k} de sous-espaces vectoriels de E est en somme directe si et seulement si, pour tout élément u de la somme

F =

k Σ i = 1

F i

, il existe un k-uplet unique (u ₁ ;u ₂ ; … ;u _k ) de F ₁ × F ₂ × … × F _k tel que

u =

k Σ i = 1

u i

.

On dit aussi dans ce cas que la somme F des sous-espaces (F _i ) _{i = 1 … k} est directe.

En d'autres termes, la somme est directe si la décomposition de tout élément de

F =

k Σ i = 1

F i

en somme d'éléments des F _i est unique.

Pour désigner une somme directe, on se sert des notations F ₁ ⊕ F ₂ ⊕ … ⊕ F _k ou oplus _{i = 1} ^k F _i .

Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :

La somme

F =

k Σ i = 1

F i

est directe si et seulement si :

l'unique k-uplet (u ₁ ;u ₂ ; … ;u _k ) de F ₁ × F ₂ × … × F _k tel que

k Σ i = 1

u i = 0

est celui dont tous les éléments sont nuls.

Remarque : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à {0} , c'est-à-dire que :

F _i ∩ F _j = {0} pour tout i et pour tout j, i différent de j.

On s’en convaincra en regardant dans R ² les sous-espaces vectoriels :

F ₁ = {(x ; 0) , x ∈ R}

F ₂ = {(y ; y) , y ∈ R}

F ₃ = {(0 ; t) , t ∈ R} .

Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)}, mais leur somme F = F ₁ + F ₂ + F ₃ (égale à R ² ) n'est pas directe.

En effet, les 3 vecteurs u ₁ = (1 ; 0), u ₂ = (-1 ; -1), u ₃ = (0 ; 1) appartiennent respectivement à F ₁ , F ₂ , F ₃ ; ils sont non nuls, et tels que u ₁ + u ₂ + u ₃ = (0 ; 0): la décomposition du vecteur nul n'est pas unique.

En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des (F _i ) _{1 ≥ i ≥ n} sont en somme directe dans E si et seulement si :

• n Σ i = 1

  F i = E

• ∀ k ∈ { 1,...,n-1} ,

  (

  k Σ i = 1

  F i

  )

  ∩ F k + 1 = {0 E}

Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :

1. Les (F _i ) _{i = 1 … k} sont en somme directe.

2. k Σ i = 1

   dim F i = dim

   (

   k Σ i = 1

   F i

   )

   .
3. En juxtaposant une base B ₁ de F ₁ , ... , une base B _k de F _k , on constitue une base de la somme.

Exemple : soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie, et f un endomorphisme de E ayant exactement p valeurs propres (distinctes) appelées

λ 1 ,

. s

, λ p

. On désigne par Id l'endomorphisme identique de E.

Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p, E _i = ker(f - λ _i Id) est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ _i .

Les deux propriétés suivantes sont classiques :

• La somme

  p Σ i = 1

  E i

  est directe.
• oplus _{i = 1} ^p E _i = Esi et seulement si f est diagonalisable.

Lorsque c'est le cas, on constitue une base B de E diagonalisant f en juxtaposant une base B ₁ de E ₁ , ... , une base B _p de E _p .

Somme directe orthogonale

On désigne ici par E un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille (F _i ) _{i = 1 … k} de sous-espaces vectoriels de E. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors appelée somme directe orthogonale.

Un exemple très simple est l'espace F ^⊥ constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel F : il est en somme directe avec F. Notons que l'égalité E = F ^⊥  + F n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre, elle l'est dès que E est de dimension finie.

Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits supplémentaires orthogonaux. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Des conditions suffisantes sont que l'espace E soit de dimension finie ou que l'espace F soit fermé (preuve). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.

Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :

1. Les (F _i ) _{i = 1 … k} sont en somme directe orthogonale.
2. En juxtaposant une base orthogonale B ₁ de F ₁ , ... , une base orthogonale B _k de F _k , on constitue une base orthogonale de la somme.

Somme directe externe et produit cartésien

Lorsque deux sous-espaces F ₁ , F ₂ d'un espace vectoriel E sont en somme directe, l'application suivante est bijective :

F ₁ × F ₂ → F ₁ ⊕ F ₂ , (u ₁ ; u ₂ ) ↦ u ₁ + u ₂

Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien F ₁ × F ₂ telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations :

(u ₁ ; u ₂ ) + (v ₁ ; v ₂ ) = (u ₁ + v ₁ ; u ₂ + v ₂ ) et α (u ₁ ; u ₂ ) = ( α u ₁ ; α u ₂ ),

où u ₁ , v ₁ sont dans F ₁ , u ₂ , v ₂ sont dans F ₂ , et α est dans K.

Ceci incite, si E ₁ et E ₂ sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps K, à définir leur somme directe, dite alors externe.

Somme directe externe de deux K-espaces vectoriels

La somme directe externe de deux K-espaces vectoriels E ₁ et E ₂ est le produit cartésien E ₁ × E ₂ sur lequel on définit

• une addition :

(u ₁ ; u ₂ ) + (v ₁ ; v ₂ ) = (u ₁ + v ₁ ; u ₂ + v ₂ )

• une multiplication externe par les éléments de K :

α (u ₁ ; u ₂ ) = ( α u ₁ ; α u ₂ ) (où α ∈ K)

Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble E ₁ × E ₂ est un espace vectoriel sur K.

Dès lors,

∽ E 1

= E 1 × {0}

et

∽ E 2

= {0} × E 2

sont deux sous-espaces de E ₁ × E ₂ , respectivement isomorphes à E ₁ et E ₂ (on a "plongé" E ₁ , E ₂ dans le produit cartésien) ; la relation

E 1 × E 2 =

∽ E 1

⊕

∽ E 2

justifie l'appellation de somme directe externe.

Lorsque E ₁ et E ₂ sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

dim(E ₁ × E ₂ ) = dim E ₁ + dim E ₂

(car E ₁ × E ₂ est somme directe des deux sous-espaces

∽ E 1

et

∽ E 2

, qui ont même dimension que E ₁ , E ₂ respectivement).

Somme directe externe de plusieurs K-espaces vectoriels

On définit de même la somme directe externe E ₁ × … × E _k de k espaces vectoriels

E 1 ,

. s

, E k

sur le même corps K.

Lorsque

E 1 ,

. s

, E k

sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

dim(E ₁ × … × E _k ) = dim E ₁ + … + dim E _k .

Remarque à propos d'autres structures algébriques

On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de groupes additifs, ou d'anneaux, ou de A-modules sur le même anneau A.

Par exemple, si A ₁ et A ₂ sont deux anneaux, on définit sur A ₁ × A ₂ deux lois de composition interne :

• une addition :

(a ₁ ; a ₂ ) + (b ₁ ; b ₂ ) = (a ₁ + b ₁ ; a ₂ + b ₂ )

• une multiplication :

(a ₁ ; a ₂ ) • (b ₁ ; b ₂ ) = (a ₁ b ₁ ; a ₂ b ₂ )

Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble A ₁ × A ₂ est un anneau. On notera que même si A ₁ et A ₂ sont intègres, leur produit cartésien ne l'est pas : a ₁ , a ₂ étant deux éléments non nuls de A ₁ , A ₂ respectivement, on a : (a ₁ ; 0) • (0 ; a ₂ ) = (0 ; 0).

Voir aussi

• Espace vectoriel

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + Addition – Soustraction × multiplication ÷ Division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) Coefficient binomial A Arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \#*$@ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × Produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ Produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ Produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) Produit scalaire ∧ Produit vectoriel
	algébrique
	[,] Crochet de Lie {,} Crochet de Poisson ∧ Produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
		+ Concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)

catégorie : Espace vectoriel