En
Mathématiques, le
symbole de Hilbert, nommé d'après le mathématicien allemand de la fin du XIX
e et du début du XX
e siècles,
David Hilbert, est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines lois de réciprocité, et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en
K-théorie.
La première définition est basée sur le fait que tout corps de nombres p-adiques contient les racines 2e de l'unité. Le symbole de Hilbert (x,y) 2 de deux éléments non nuls x et y du corps K considéré est alors 1 ou -1 suivant que l'équation α 2 y+ β 2 x = 1 admet ou non une solution ( α, β) dans le corps K. Une telle équation revient en fait à se demander si y est une norme dans l'équation a priori quadratique .
Cette définition se généralise en un symbole à valeurs dans le groupe des racines de l'unité du corps considéré. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur les différents corps de nombres p-adiques Q p on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-èmes pour un Corps de nombres dont le groupe des racines de l'unité est un multiple de n.
Référence
- (en) Georges Gras, Class Field Theory : From Theory to Practice