Intégrales définies
On appelle
intégrale définie dans l'intervalle
a b = ∫ | b a | f (x) dx = F (b) - F (a) |
lorsque F est une Primitive quelconque de f et que a et b sont les bornes de l'intégrale.
Il existe des fonctions qui sont intégrables mais dont aucune primitive ne peut être exprimée sous une « forme close ». Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.
∫ | + ∞ 0 | x n {e - x dx } = n! |
pour n = 0, 1, 2,... (Fonction gamma Γ (n+1) )
∫ | + ∞ 0 | { | √ | –– x | e - x dx | } | = | 1 –– 2 | √ | –– π |
∫ | + ∞ 0 | { | e - | x 2 ––– 2 | dx | } | = | √ | –––––––– ( π)/2 |
(Intégrale de Gauss)
∫ | + ∞ 0 | {e - x 2 dx } = | 1 –– 2 | √ | –– π |
∫ | + ∞ 0 | { | x ––––––– e x -1 | dx | } | = | π 2 ––– 6 |
∫ | + ∞ 0 | { | x 3 ––––––– e x -1 | dx | } | = | π 4 ––– 15 |
∫ | + ∞ 0 | sin(x) –––––––– x | dx = | π –– 2 |
(intégrale de Dirichlet)
∫ | + ∞ 0 | x z - 1 e - x dx = Γ(z) |
( Γ est la fonction gamma d'Euler, définie pour z > 0)
∫ | + ∞ 0 | { | x s ––––––– e x -1 | dx | } | = Γ(s+1) ζ(s+1) |
( ζ est la fonction zêta, définie pour z > 1)
∫ | 1 0 | 1 ––––––––––– √(1-t 3 ) | dt = | 1 –– 3 | Β | ( | 1 –– 3 | , | 1 –– 2 | ) |
(intégrale elliptique)
∫ | ( π ) / 2 0 | ln( cos(x)) dx = ∫ | ( π ) / 2 0 | ln( sin(x)) dx = - | π –– 2 | ln(2) |
(intégrales d'Euler)
∫ | + ∞ - ∞ | cos(x 2 ) dx = ∫ | + ∞ - ∞ | sin(x 2 ) dx = | √ | –––––––– ( π)/2 |
(intégrales de Fresnel)
∫ | π 0 | ln(1-2 α cos x+ α 2 ) dx = 2 π ln| α| |
si | α|>1 et 0 si | α| ≤ 1.
∫ | + ∞ 0 | {xe - x 3 dx } = | 1 –– 3 | Γ | ( | 2 –– 3 | ) |
∫ | ( π ) / 2 0 | sin n (x) dx = I n |
(intégrales de Wallis)
Voyez également