- Cet article fait partie de la série Primitives de fonctions
- Rationnelles
- Logarithmes
- Exponentielles
- Irrationnelles
- Trigonométriques
- Hyperboliques
- Circulaires réciproques
- Hyperboliques réciproques
Le calcul d'une Primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la Dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.
Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par C une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.
∫ f (x) dx – appelé intégrale indéfinie de f – désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction f à une constante additive près.
Règles générales d'intégration
∫ l(a f (x) + b g (x) r)dx = a ∫ f (x) dx + b ∫ g (x) dx (linéarité)
∫ | c a | f (x) dx = ∫ | b a | f (x) dx + ∫ | c b | f (x) dx |
(Relation de Chasles)
∫ f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) - ∫ g (x) f '(x) dx (intégration par parties)
Primitives de fonctions simples
Article connexe : . ∫ dx = x + C
Primitives de fonctions rationnelles
∫ x n dx = | x n + 1 ––––– n+1 | + C text{ si }n ≠ -1 |
∫ | 1 ––––– 1+x 2 | dx = Arctan {x } + C |
∫ | 1 –––––––– a 2 +x 2 | dx = | 1 –– a | Arctan | { | x –– a | } | + C text{ si }a ≠ 0 |
∫ | 1 ––––– 1-x 2 | dx = | 1 –– 2 | ln | { | | | x+1 ––––– x-1 | | | } | + C = Argth (x) + C |
∫ | 1 –––––––– (x-a) n | dx = - | 1 ––––––––––––––––––– (n-1) (x-a) n - 1 | + C text{ si }n ≠ 1 |
∫ | 1 ––––– x-a | dx = ln|x-a| + C |
Primitives de fonctions logarithmes
∫ ln {x } dx = x ln (x)- x + C ∫ log b {x } dx = x log b {x } - x log b {e } + C
Primitives de fonctions exponentielles
∫ e x dx = e x + C ∫ a x dx = | a x –––––––– ln{a } | + C |
Primitives de fonctions irrationnelles
∫ | 1 ––––––––––– √(1-x 2 ) | dx = Arcsin {x } + C |
∫ | -1 ––––––––––– √(1-x 2 ) | dx = Arccos {x } + C |
∫ | x ––––––––––– √(x 2 -1) | dx = | √ | ––––––– x 2 -1 | + C |
Primitives de fonctions trigonométriques
∫ cos{x } dx = sin{x } + C ∫ sin{x } dx = - cos{x } + C
∫ tan{x } dx = - ln| cos x | + C
∫ cosec x dx = - ln| cosec x + cotan x| + C
∫ sec{x } dx = ln{| sec{x } + tan{x }|} + C
∫ cotan x dx = ln{| sin{x }|} + C
∫ sec 2 x dx = tan x + C
∫ cosec 2 x dx = - cotan x + C
∫ sin 2 x dx = | 2x - sin 2x ––––––––––––––– 4 | + C |
∫ cos 2 x dx = | 2x + sin 2x ––––––––––––––– 4 | + C |
∫ | 1 ––––––– sin x | dx = ln | { | | tan | x –– 2 | | | } | + C |
∫ | 1 ––––––– cos x | dx = ln | { | | tan | ( | x –– 2 | + | π –– 4 | ) | | | } | + C |
Primitives de fonctions hyperboliques
∫ sh x dx = ch x + C ∫ ch x dx = sh x + C
∫ th x dx = ln ( ch x) + C
∫ cosech x dx = ln| th | x –– 2 | | + C |
∫ sech x dx = Arctan ( sh x) + C
∫ coth x dx = ln| sh x| + C
Primitives de fonctions circulaires réciproques
Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par parties. On suppose
a ≠ 0.
∫ Arcsin | ( | x –– a | ) | dx = x Arcsin | ( | x –– a | ) | + | √ | –––––––– a 2 -x 2 | +C |
∫ Arccos | ( | x –– a | ) | dx = x Arccos | ( | x –– a | ) | - | √ | –––––––– a 2 -x 2 | +C |
∫ Arctan | ( | x –– a | ) | dx = x Arctan | ( | x –– a | ) | - | a –– 2 | ln(a 2 +x 2 )+C |
∫ Arccotan | ( | x –– a | ) | dx = x Arccotan | ( | x –– a | ) | + | a –– 2 | ln(a 2 +x 2 )+C |
∫ Arcsec | ( | x –– a | ) | dx = x Arcsec | ( | x –– a | ) | -a ln | { | | } | + C |
∫ Arccosec | ( | x –– a | ) | dx = x Arccosec | ( | x –– a | ) | +a ln | { | | } | + C |
Primitives de fonctions hyperboliques réciproques
On suppose
a ≠ 0.
∫ argsh | ( | x –– a | ) | dx = x argsh | ( | x –– a | ) | - | √ | –––––––– x 2 +a 2 | +C |
∫ argch | ( | x –– a | ) | dx = x argch | ( | x –– a | ) | - | √ | –––––––– x 2 -a 2 | +C |
∫ argth | ( | x –– a | ) | dx = x argth | ( | x –– a | ) | + | a –– 2 | ln(a 2 -x 2 )+C |
∫ argcoth | ( | x –– a | ) | dx = x argcoth | ( | x –– a | ) | + | a –– 2 | ln(x 2 -a 2 )+C |
∫ argsech | ( | x –– a | ) | dx = x argsech | ( | x –– a | ) | - a arctan | ( | √ | ––––––– right | ) | ] | } | + C |
Voir également