En
Mathématiques, le
théorème de Green, ou
théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne autour d'une courbe simple fermée C et l'intégrale double sur la région du plan D délimitée par C.
Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le Théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de flux-divergence.
Énoncé
ThéorèmeThéorème de Green
Notation alternative
Il existe une autre façon de noter ce théorème, qui se rapproche de celle utilisée pour le
Théorème de Stokes. On se place sur un domaine compact lisse du plan
Ω, de bord ∂Ω, en notant la forme différentielle
ω. Alors la dérivée extérieure de
ω s'écrit :
d ω = | ( | ∂ Q ––––––– ∂ x | - | ∂ P ––––––– ∂ y | ) | dx ∧ dy |
On peut alors résumer le théorème de Green par la formule :
Le cercle sur l'intégrale précise que le bord décrit une courbe fermée. En dessinant une flèche dessus, on définit l'orientation — positive ou négative.
Utilisations
Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.
Calculs d'aires
L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'
aire délimitée par une courbe paramétrée fermée.
Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C= delta D sa frontière, orientée posditivement par rapport à D.On a:
{A (D)} = ∫ |
| {C } (-y,0) dt = ∫ |
| {C } (0,x)dt = 1/2 ∫ |
| {C } (-y,x) dt |
oû t est la paramétrisation de la courbe.
On traite ici l'exemple du disque unité D, dont le bord est le cercle unité C paramétré par :
t → ( cos{t }, sin{t }) et de longueur
2 π.
On pose, pour tous réels x et y :
Alors
ω = x dy et
d ω = dx dy. Or, par définition de l'aire :
A = ∬ |
| {D } dx dy = ∬ |
| {D } d ω |
D'après le théorème de Green :
A = ∬ |
| {D } d ω = ∮ |
| {C } ω |
Ainsi on a :
A = ∮ |
| {C } x dy = ∮ | 2 π 0 | cos 2 (t) dt = π |
. En conclusion, on a montré que l'aire du disque unité est
π.