Le
théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de
Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux
espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute
application continue de X dans Y est
uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de
I = dans
R est uniformément continue sur I.
Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques
Enoncé
Soit f une fonction continue de dans R. Elle est continue en tout point x, et nous savons donc que
∀ x ∈ ∀ ε > 0, ∃ α x ε > 0 tel que ∀ x ' ∈ |x-x '|< α x ε ⇒ |f (x)-f (x ')|< ε
Le theoreme de Heine exprime que la fonction est alors uniformement continue en x sur , c'est à dire que le α peut etre choisi independamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs ∀ x ∈ ∃ α x en ∃ α ∀ x ∈ .
La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :
∀ ε > 0, ∃ α ε > 0 / ∀ x ∈ ∀ x ' ∈ |x-x '|< α ε ⇒ |f (x)-f (x ')|< ε
Démonstration
En prenant les definition de
α x ε , on considere
⊂ ∪ x ∈ {x } ⊂ ∪ B (x, α x ε / 2) . c'est un recouvrement de
, et d'apres le Théorème de Borel-Lebesgue on peut en selectionner un nombre fini I qui recouvre aussi
. Alors, si l'on prend
| x, y / |x-y| < | 1
––
2 | min i ∈ I α xi |
il existe un
x i / x ∈ B (x i , α xi ε /2 ) et
| |y - x i | < d (y,x) + d (x,x i ) < | 1
––
2 | min i ∈ I α xi + α xi ε /2 < α xi ε |
et donc
|f (x)-f (y)| < |f (x) - f (x i )|+|f (x i )-f (y)|< ε+ ε
la valeur trouvée etant bien independante de x, l'unniforme continuité est demontrée.
Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass
On se place dans le cas général de deux
espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute
application continue de X dans Y est
uniformément continue, ce qui s'exprime par :
∀ ε > 0, ∃ α >0 tel que ∀ (a,b) ∈ X, d (a,b)< α ⇒ d '(f (a),f (b))< ε
Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde en considérant f continue sur X mais non uniforménent continue. Alors, on sait qu'il existe ε>0 tel que pour chaque , on peut trouver deux points a n et b n de X avec :
et d '(f (a n ),f (b n ))> ε .
La suite (a n ) est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une Sous-suite convergente. On note φ l'extraction et a la limite de la Sous-suite. La relation | d (a φ ( n ) ,b φ ( n ) )< | 1
–––––
φ(n) |
montre que (b φ ( n ) ) est aussi convergente de limite a .
Il s'en suit, en faisant tendre n vers scriptstyle + ∞ et en utilisant la Continuité de f et de la distance d' :
d '(f (a),f (a)) ≥ ε .
On obtient là une contradiction. Donc f est uniforménent continue sur X.