Le
théorème de Sturm permet de calculer le nombre de
racines réelles distinctes d'une
Fonction polynôme comprises dans un intervalle donné. Ce théorème a été établi en
1829 par
Charles Sturm.
Enoncé du théorème
Le nombre de racines réelles distinctes dans un intervalle d'un polynôme à
coefficients réels, dont
a et
b ne sont pas des racines, est égal à la différence du nombre de changements de signe de la suite de Sturm aux bornes de cet intervalle.
Suite de Sturm
La
suite de Sturm ou
chaîne de Sturm est construite à partir des polynômes
P 0 = P~ et de sa
Dérivée P 1 = P ′ P = x n + … + a 1 x + a 0
P ′ = n*x ( n - 1 ) + … + a 1
Cette suite est la séquence de résultats intermédiaires que l'on obtient en appliquant l'Algorithme d'Euclide à P 0 ~ et sa dérivée P 1 ~.
Pour obtenir cette suite on calcule :
| nP 0 | = | P 1 * Q 1 - P 2 | | nP 1 | = | P 2 * Q 2 - P 3 | | n | … | | | n | | |
| n |
Les P i sont donc les opposés des restes successifs de la division des deux termes précédents de la suite. Si P~ possède uniquement des racines distinctes, le dernier terme est une constante non nulle. Si ce terme est nul, P~ admet des racines multiples, et on peut dans ce cas appliquer le théorème de Sturm en utilisant la suite T 0 , T 1 , …, T r - 2 , 1 que l'on obtient en divisant les P 1 , P 2 , …, P r - 1 par P r - 1 .
Si on note σ( ξ)~ le nombre de changements de signe (zéro n'est pas compté comme un changement de signe) dans la séquence
P ( ξ), P 1 ( ξ), P 2 ( ξ), …, P r ( ξ).
le théorème de Sturm nous dit que pour deux nombres réels a, b~, a<b~, a et b ne sont pas des racines de P, le nombre de racines dans l'intervalle ~ est :
σ(a)- σ(b)~.
On peut utiliser ce théorème pour calculer le nombre de racines réelles distinctes en choisissant de manière appropriée les bornes a~ et b~, par exemple toutes les racines réelles d'un polynôme sont dans l'intervalle ~ avec :
M = max () .
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