En Algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une Matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est pas tout le temps possible, mais seulement sous certaines conditions.

Dans la suite, on se donne n ≥ 1 un Entier naturel et K un corps commutatif. M _n ( K) désignera l'ensemble des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans K .

Matrices triangulaires

Article détaillé : . Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale sont nuls. En général, on note T _n ⁺ (K) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. C'est un Espace vectoriel, et même mieux, c'est une sous-algèbre de M _n ( K) . Une matrice triangulaire supérieure T est donc de la forme :

T =

┌    a 1 , 1       …       …       a 1,n    ┐ │ │    0    .. s   .. s      a 2,n    │ │ │ │    ⋮    .. s   .. s      ⋮    │ │ └    0       …       0       a n,n    ┘

Remarque : De la même manière, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement au dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

Soit M ∈ M _n ( K) , une matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans K . On dit que la matrice M est trigonalisable s'il existe une Matrice inversible P ∈ GL _n ( K) et une matrice T ∈ T _n ⁺ ( K) triangulaire supérieure telles que :

M = PTP ^-1 ou bien T = P ^-1 MP

Cela revient à dire que M est semblable dans M _n ( K) à une matrice triangulaire supérieure.

En particulier, toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable, bien évidemment. (Il suffit de choisir P = I _n où I _n est la Matrice identité de dimension n.)

Soit E un Espace vectoriel sur le corps K , de Dimension n et u un Endomorphisme de E . On dit que u est trigonalisable s'il existe une base B de E telle que M _B (u) ∈ T _n ⁺ ( K) , où M _B (u) désigne la matrice de l'endomorphisme u dans la base B . Autrement dit, un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice associée est triangulaire supérieure.

De plus, un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base de E est trigonalisable.

Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

• Toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une Matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).

• Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K .

En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice de M _n ( K) est trigonalisable. Cet énoncé est aussi valable pour un endomorphisme de E , espace vectoriel de dimension n sur K .

Cas particulier où K = C : toute matrice de M _n ( C) est trigonalisable, car C est algébriquement clos (voir théorème de d'Alembert-Gauss).

• Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe un drapeau de E stable par cet endomorphisme.

Exemples de trigonalisation

Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels

Soit

M =	(   ┌      n1       3   ┐     )     └ n-  3 –– 4    -2 n     ┘

une matrice, son polynôme caractéristique est

P M (X) =

(

X+

1 –– 2

)

2

qui a comme unique racine

-1 ––– 2

qui est donc l'unique valeur propre de M. L'espace propre associé à la valeur propre

-1 ––– 2

est

E   - 1 – – – 2   = {

(     x     )      y

∈R 2 ; M

(     x     )      y

=   -1 ––– 2

(     x     )      y

} = {

(     2x     )      -x

; x ∈R}

,

E

- 1 – – – 2

est donc un sous espace vectoriel de dimension 1 qui a pour base le vecteur

e 1 ^' =

(     2     )      -1

. On peut alors compléter e ₁ ^' avec par exemple le vecteur

e 2 ^' =

(     0     )      1

de manière à ce B ' = (e ₁ ^',e ₂ ^') forme une base de l'espace R ² tout entier. On sait déjà que

Me 1 ^' =

-1 ––– 2

e 1 ^'

et on a facilement

Me 2 ^' =

(     3     )      -2

=   3 –– 2  e 1 ^'-  1 –– 2  e 2 ^'

, la matrice M dans la base B ' s'écrit donc

T =	(   ┌   -1 ––– 2 3 –– 2 ┐     )     └    0    -1 ––– 2   ┘

. On remarquera que la dimension de l'espace propre ne permettait pas ici de diagonaliser la matrice M. La matrice P telle que M = PTP ^-1 n'est autre que la matrice de passage de la base canonique B à la base B ', P est donc constituée des vecteurs de B ' exprimés dans la base B donc

P =	(     2       0     )      -1       1

. De même, pour avoir la matrice P ^-1 il suffit d'exprimer les vecteurs de B dans la base B ', on a facilement

e 1 =

1 –– 2

e 1 ^'+

1 –– 2

e 2 ^'

et e ₂ = e ₂ ^' et donc

P -1 =

(   ┌   1 –– 2    0   ┐     )     └ 1 –– 2    1     ┘

.

Exemple de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 3

Soit

M =

(   ┌     i       2       -1   ┐     )       0       -i       0       └   0       -1       2     ┘

∈ M 3 (C)

son polynôme caractéristique est P _M (X) =(i-X) ² (2-X). Comme dans l'exemple précédent on a après calculs :

e 1 ^' =

(   ┌     1   ┐     )       0       └   0     ┘

∈ E i

et

e 2 ^' =

(   ┌     1   ┐     )       0       └   i-2     ┘

∈ E 2

que l'on complète avec

e 3 ^' =

(   ┌     0   ┐     )       1       └   0     ┘

pour former une base B '} = (e ₁ ^',e ₂ ^',e ₃ ^') de C ³ . On remarque que

Me 3 ^' =

8-i ––––– 5

e 1 ^'+

2+i ––––– 5

e 2 ^'-ie 3 ^'

. La matrice M dans la base B '} est donc

T =	(   ┌     i       0    8-i ––––– 5 ┐     )       0       2    2+i ––––– 5     └   0       0       -i     ┘

et l'on a M = PTP ^-1 avec P la matrice de passage de la base canonique B à la base B ', P est donc constituée des vecteurs de B '} exprimés dans la base B d'où

P =	(   ┌     1       1       0   ┐     )       0       0       1       └   0       i-2       0     ┘

et

P -1 =

(   ┌     1       0    2+i ––––– 5 ┐     )       0       0    -2-i ––––– 5     └   0       1       0     ┘

.

Voir aussi

Matrice mathématique
par forme
carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
transformée	en relation
transposée • adjointe inverse • Comatrice	équivalente • semblable congruente
par propriété
inversible • diagonalisable • trigonalisable symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
par famille	associée
identité de De Casteljau de Cartan de Hilbert de Mueller de Pauli • de Dirac	de permutation • de passage compagnon • de Sylvester d'adjacence • laplacienne hessienne • jacobienne génératrice • de contrôle de corrélation • de Gram de variance-covariance d'inertie • de Jones des gains • stochastique
particulière
CKM
résultats
décompositions : LU • QR • polaire valeurs singulières	trigonalisation Réduction de Jordan facteurs invariants
Voir aussi
théorie des matrices • Algèbre linéaire

• Diagonalisation
• Réduction d'endomorphisme
• Matrice triangulaire
• Bloc de Jordan