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Définition

On appelle couple tout système d'actions mécaniques dont la résultante

→ R

est nulle et le moment résultant

→ M

0

par rapport à un point O est non nul.

Remarque : ce moment est alors indépendant du point O, comme démontré ci-dessous.

Propriété fondamentale du couple

Rappel : moment d'une force

On rappelle que le moment par rapport à un point O d'une force dont le point d'application est au point M est défini par :

→ M

O =

→ OM

∧

→ F

(M)

Un théorème général

Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces

→ F

i

où l'indice i = 1, …, n. Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :

→ M

O =

n Σ i = 1

→ M

i n =

n Σ i = 1

→ OM

i ∧

→ F

i (M i )

Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :

→ M

A =

n Σ i = 1

→ AM

i ∧

→ F

i (M i )

On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :

→ AM

i =

→ AO

+

→ OM

i

d'où le moment résultant :

→ M

A =

n Σ i = 1

→ AO

∧

→ F

i (M i ) +

n Σ i = 1

→ OM

i ∧

→ F

i (M i )

La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur

→ AO

est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :

n Σ i = 1

→ AO

∧

→ F

i (M i ) =

→ AO

∧

La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :

→ R

=

n Σ i = 1

→ F

i (M i )

d'où le théorème général :

→ M

A =

→ M

O +

→ AO

∧

→ R

Cas particulier du couple

Le couple étant un système d'actions mécaniques dont la résultante

→ R

est nulle, son moment résultant est indépendant du point choisi pour le calculer :

→ M

A =

→ M

O

On utilise souvent la notation

→ Γ

pour représenter le moment résultant d'un couple. Compte-tenu du résultat précédent, il n'est en effet pas nécessaire de préciser le point choisi pour calculer le moment.

Représentations d'un couple

Il existe une infinité de représentations différente d'un même couple

→ Γ

donné.

Représentation la plus simple

La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :

• l'une,

  → F

  1

  , appliqué en un point M ₁ différent de l'origine O fixée.

• l'autre,

  → F

  2 = -

  → F

  1

  , appliqué en un point M ₂ symétrique du point M ₁ par rapport à l'origine O .

Ainsi, la résultante

→ R

=

→ F

1 +

→ F

2 =

→ 0

est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs

→ F

1

et

→ F

2

ne sont pas colinéaires au vecteur

→ M 1 M 2

; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :

Si on note la distance

@

→ OM

1 @ = @

→ OM

2 @ = d

, la norme des forces

@

→ F

1 @ = @

→ F

2 @ = F

, et

→ u

le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :

→ Γ

= 2 d F

→ u

Exemples d'autres représentations

On peut représenter le même couple

→ Γ

que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :

• l'une,

  → F

  1

  , appliqué au point O .

• l'autre,

  → F

  2 = -

  → F

  1

  , appliqué en un point M ₃ situé à une distance non nulle de l'origine O .

Ainsi, la résultante

→ R

=

→ F

1 +

→ F

2 =

→ 0

est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs

→ F

1

et

→ F

2

sont perpendiculaires au vecteur

→ OM 3

:

Pour retrouver la même valeur du couple :

→ Γ

= 2 d F

→ u

, il suffit de prendre par exemple une combinaison du type :

• @

  → OM

  3 @ = d

  et :

  @

  → F

  1 @ = @

  → F

  2 @ = 2F

• ou :

  @

  → OM

  3 @ = 2d

  et :

  @

  → F

  1 @ = @

  → F

  2 @ = F

Il existe une infinité de représentations possibles ...

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