La théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore très largement conjecturelle, de la Théorie des nombres contemporaine. Dans cette partie, de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et les séries L pour un caractère de Dirichlet sont construites, et leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont hors de portée d'une démonstration, sont exposées d'une manière systématique.

Les fonctions L

Comme dans le cas des exemples très connus, nous pouvons distinguer les représentation de séries (par exemple les séries infinies pour la fonction zêta de Riemann), et la fonction dans le plan complexe qui est son prolongement analytique. Les constructions générales démarrent avec une série L, d'abord définie comme un produit infini, indexé par des nombres premiers, puis par extension comme une série de Dirichlet. Des estimations sont requises pour démontrer que ceci converge dans la partie droite supérieure du plan des nombres complexes.

Il est alors sensé de conjecturer un prolongement méromorphe dans le plan complexe, en tant que fonction L. Dans les cas classiques, on sait que l'information utile est contenue dans les valeurs et la connaissance de la fonction L aux points où la série L elle-même n'est pas une représentation valide. Le terme général de fonction L comprend beaucoup de types connus de fonctions zêta. La classe de Selberg est une tentative pour axiomatiser les propriétés des fonctions L et encourager l'étude des propriétés communes à toutes ces fonctions plutôt que chaque fonction L en tant qu'objet unique.

Exemples de fonctions L

• la fonction ζ de Riemann, qui est l'exemple le plus classique ;
• les fonctions L associées aux formes modulaires via la transformation de Mellin ;
• les fonctions L associées aux caractères, qui permettent notamment de démontrer le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques ;
• les fonctions L des motifs

Information conjecturelle

On peut lister les caractéristiques des exemples connus de fonctions L que l'on souhaiterais voir généralisées :

• localisation des zéros et des pôles ;
• équation fonctionnelle (fonction L), avec le respect de certaines droites verticales Re (s) = constante ;
• valeurs intéressantes aux valeurs entières.

Un travail détaillé a produit un grand corps de conjectures plausibles, par exemple à propos du type exact d'équation fonctionnelles qui pourrait s'appliquer. Comme la fonction zêta de Riemann connecte ses valeurs aux entiers pairs des nombres de Bernoulli, on peut envisager une généralisation appropriée de ce phénomène. Dans ce cas, des résultats ont été obtenus pour ce que l'on appelle les fonctions L p-adiques, qui décrivent certains modules de Galois.

L'exemple de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Voir l'article principal conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Un des exemples les plus influents, et pour l'histoire des fonctions L les plus générales et pour la recherche de problèmes encore ouverts, est la conjecture développée par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans la première partie des années 1960. Elle s'applique à une Courbe elliptique E, et le problème qu'elle essaie de résoudre est la prédiction du rang d'une courbe elliptique sur l'ensemble des nombres rationnels : c.a.d. le nombre de générateurs libres de son groupe de points rationnels. Plusieurs travaux précédents de ce domaine commencèrent à être unifiés autour d'une meilleure connaissance des fonctions L. Ceci fut quelque chose comme un exemple de paradigme de la théorie naissante des fonctions L.

Ampleur de la théorie générale

Ce développement précéda le programme de Langlands de quelques années, et peut être regardé comme son complémentaire : le travail de Langlands est lié largement aux fonctions L d'Artin, qui, comme celles de Hecke, furent définies plusieurs décennies plus tôt.

Graduellement il devint plus clair dans quel sens la construction de Hasse-Weil put être faite pour travailler à fournir des fonctions L valides, dans le sens analytique : il doit exister certaines entrées à partir de l'analyse, qui veut dire analyse automorphe. Le cas général unifie maintenant à un niveau conceptuel un nombre différent de programmes de recherches.

Quelques liens pour aller plus loin :

• Hypothèse de Riemann généralisée
• Théorème de Taniyama-Shimura

Références

• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique