Pour les articles homonymes, voir Triangle de Pascal (homonymie).
En Mathématiques, le triangle de Pascal, est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un Triangle. À la ligne i et à la colonne j (0 ≤ j ≤ i) est placé le coefficient binomial .
Il a été très tôt utilisé pour développer des expressions de la forme (a + b) n
| 1 |
|---|
| 1 | 1 |
|---|
| 1 | 2 | 1 |
|---|
| 1 | 3 | 3 | 1 |
|---|
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
|---|
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
|---|
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
|---|
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
|---|
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
|---|
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 |
|---|
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
|---|
Histoire
La tradition attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en Orient et moyen Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple
Al-Karaji (
953 -
1029) ou
Omar Khayyam au
XIe siècle qui l'utilisent pour développer (a + b)
n . Il apparaît en Chine dès 1261 dans un ouvrage de
Yang Hui (au rang 6) et dans le
Miroir de jade des quatre éléments de
Zhu Shijie en
1303 (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du XI
e siècle Jia Xian. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la formule du binome et, selon V.J. Katz, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à deux la méthode d'extraction de racine .
En Europe, il apparait dans l'ouvrage de Peter Apian, Rechnung (1527). Il est étudié par Michael Stifel(1486 - 1567) et Tartaglia (1499 - 1557). C'est d'ailleurs sous le nom de Triangle de Tartaglia qu'il est connu en Italie. Mais c'est Blaise Pascal qui lui consacre un traité : le traité du triangle arithmétique (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition combinatoire des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du raisonnement par récurrence. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binome. Il l'exploite dans un problème de lancer de pièce équilibrée (problème des partis).
Construction
Combinatoire
En écrivant la
formule de Pascal,
- pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i,
nous remarquons que le coefficient de la ligne
i et colonne
j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne
i - 1 et colonne
j - 1 et de la ligne
i - 1 et colonne
j. De plus nous savons que
.
Nous en déduisons une méthode de construction du triangle de Pascal :
- nous plaçons dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
- en partant du haut et en descendant, nous complétons le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.
Suivant le schéma suivant, il est simple de ne pas se tromper :
A + B
@
(A+B)
Matricielle
Facile à construire à partir des
factorielles, il est possible de représenter le triangle de Pascal à l'aide de l'exponentielle d'une matrice : le triangle est le résultat de l'exponentielle d'une matrice dont la sous-diagonale contient 1, 2, 3, 4, …, zéro ailleurs.
Informatique
Écrivons l'algorithme, en langage formel, de construction du triangle de Pascal. Notez que cet algorithme crée une nouvelle ligne à partir de la précédente.
Variables :
Tableau de 1 à X de tableau de 1 à X d'entiers c (tableau bidimensionnel)
Entiers i, j, n, x
n ← 10 c[0][0] ← 1
pour i de 1 à n faire
c[i][0] ← 1
c[i][i] ← 1
pour j de 1 à i-1 faire
c[i][j] ← c[i-1][j-1] + c[i-1][j]
finpour
finpour
afficher_tableau(c)
Programme Pascal
<source lang=pascal> program triangle_pascal; uses wincrt; type Matrice=array[1..20,1..20]of integer; var
n:integer;
m:Matrice;
procedure remplir(n:integer;var M:Matrice);
var
i,j:integer;
begin
M[1,1]:=1;
for i:=2 to n do
begin
M[i,1]:=1;
M[i,i]:=1;
for j:=2 to i-1 do
M[i,j]:=M[i-1,j-1]+M[i-1,j];
end;
end;
procedure affi(n:integer;M:Matrice);
var
i,j:integer;
begin
For i:=1 to n do
Begin
For j:=1 to i do
write(M[i,j]:5);
writeln;
End ;end;
begin n:=8; writeln('*********** Triangle de Pascal ***********'); writeln; writeln;
remplir(n,m);
affi(n,m);
end. </source>
Propriétés
Liées à la construction
- La somme des termes d'une ligne : la somme des termes sur la ligne de rang n (première ligne = rang 0) est égale à 2n.
- Les crosses de hockey : Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant verticalement, on obtient le terme situé en diagonale en bas à droite du dernier terme de la colonne. Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant en diagonale vers la droite, on obtient le terme situé sous le dernier terme de la diagonale.
- : Exemple : descente de 4 termes dans la colonne de rang 3 : 1 + 3 + 6 + 10 =.20 terme situé en bas à droite du dernier terme
- : Exemple : Descente en diagonale de 5 termes à partir de la ligne de rang 4 : 1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126 terme situé sous le dernier
- Diagonale ascendante : la somme des termes d'une diagonale ascendante correspond à l'un des termes de la Suite de Fibonacci
- : Diagonales ascendantes de rang 1, 2, 3, 4, 5 : 1, 1, 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3, 1 + 3 + 1 = 5
- Chaque ligne possède un centre de symétrie
Formule du binôme
[image] Article détaillé : . Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. En effet, on trouve sur une même ligne tous les coefficents intervenant dans le développement d'une puissance de la somme de deux termes.
- Exemple : (X+1) 2 = X 2 +2X+1 2 et on note que les coefficients de chaque monôme sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal (la ligne de rang 2), c'est-à-dire 1, 2, 1.
- Généralisation : (X+Y) n = a 0 X n Y 0 +a 1 X n - 1 Y+a 2 X n - 2 Y 2 + …+a n Y n X 0 , où les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1e ligne du triangle de Pascal (ligne de rang n).
Connaissant ainsi la formule de sommation | (a+b) n = | n
Σ
i = 0 | | ( | n
i | | ) | a n-i b i |
, plusieurs propriétés apparaissent simplement.
Posons a = b = 1, on a alors .
Posons a = 1 et b = -1, on a alors .
Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est 2 n - 1 et est égale à la somme des termes d'ordre 1, 3, 5, ....
Propriété liée au dénombrement
Le nombre situé dans la colonne p(en comptant à partir de 0 les colonnes) et la ligne n (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de
combinaisons possibles de p éléments dans un ensemble à n éléments.
Dans la ligne n et la colonne p, on a | ( | n
p | | ) | = | n!
–––––––––––
p!(n-p)! |
.
- Dans la ligne n et la colonne p, on lit le nombre de fois où l'on peut espérer obtenir p piles et n-p faces lors de 2n lancers d'une pièce équilibrée
- En multipliant un terme par le rang de sa colonne et en le divisant par le rang de sa ligne, on obtient le terme situé en cran plus haut sur la gauche
- : exemple le terme dans la ligne 6 et la colonne 4 est 15 (on rappelle que les lignes et les colonnes sont numérotées en commençant à 0); Or 15 × 4/6=10 situédans la case juste à côté en haut à gauche.
- En multipliant le terme de ligne n et de colonne p par, on obtient son voisin sur la droite
- Tous les termes de la ligne de rang n (sauf le premier et le dernier) est un multiple de n si et seulement si n est un nombre premier
Nombres de Catalan
[image] Article détaillé : . Toutes les lignes de rang pair (2n) ont un terme central, en divisant ce terme par n+1 ou en lui ôtant son voisin, on obtient un nombre de Catalan.
Triangle de Sierpinski
[image] Article détaillé : . [image] En grisant les cases où apparaît un nombre impair et blanchissant les cases où apparaît un nombre pair, on obtient une image analogue au triangle de Sierpinski . Il en est de même si on noircit toutes les cases qui ne sont pas congrue à 0 modulo p.
Nombres figurés
[image] Article détaillé : . Les nombres situés sur la troisième diagonale descendante correspondent aux
nombres triangulaires ceux de la quatrième diagonale aux nombres tétraédriques, ceux de la cinquième diagonale aux
nombres pentatopiques et ceux de la n-ième diagonale aux nombres n-topiques.
Formules trigonométriques
La formule du binome appliqué à la
Formule d'Euler cos( θ) + i sin( θ)) n = cos(n θ)+i sin(n θ) permet de développer cos(nθ) et sin(nθ) Les coefficients situés sur la ligne de rang n permettent d'écrire tan(nθ) en fonction de t = tan(θ)
- Exemple : sur la ligne 4 on lit 1 - 4 - 6 - 4 - 1 et
| tan(4 θ) = | 4t -4t 3
––––––––––––––
1-6t 2 + t 4 |
- Formule générale :
| tan(n θ) = | Σ k = 0 → [ ( n - 1 ) / 2 ] {(-1) k (n ¦ 2k+1)t 2 k + 1 }
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Σ k = 0 → [ n / 2 ] (-1) k (n ¦ 2k)t 2k |
.
Les coefficients situés sur une diagonale ascendante permettent d'exprimer sin(n θ) comme produit de sin(θ) par un polynome en cos(θ);
- Exemple : sur la diagonale ascendante de rang 5, on lit 1 - 3 - 1 et sin(5 θ) = sin( θ)((2 cos( θ) 4 - 3(2 cos( θ)) 2 + 1))
- Généralisation : si les termes de la diagonale ascendante de rang n sont a n,0 , a n,1 , … a n , [ ( n - 1 ) / 2 ] , on a
| sin(n θ) = sin( θ) | ( | [ ( n - 1 ) / 2 ]
Σ
k = 0 | (-1) k a n,k(2 cos( θ)) n-1-2k) |
Par conséquent, les coefficients situés sur la diagonale ascendante de rang n permettent de déterminer un polynôme de degré [(n-1)/2] dont les racines sont les valeurs pour k variant de 1 à [(n-1)/2]
- Exemple : sur la diagonale de rang 7, on lit 1 - 5 - 6 - 1, on sait donc sont racines de P (x) = x 3 - 5x 2 + 6x - 1
- Généralisation :
| P (x) = | [ ( n - 1 ) / 2
Σ
k = 0 | (-1) k a n,k x [ ( n - 1 ) / 2 ] - k |
a pour racines
Généralisations
La formule du binôme généralisé est une importante généralisation du triangle de Pascal, car elle permet de manipuler des nombres complexes dans la base, tout comme d'utiliser des exposants complexes.
Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la Pyramide de Pascal.
Annexes
Notes et références
Articles connexes
Liens externes
Note: read (x ¦ y) as | ( | x
y | ) |