Le
triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante, c'est-à-dire une courbe dont tous les
diamètres ont même longueur. Elle tient son nom de l'ingénieur allemand
Franz Reuleaux, qui fut au XIX
e siècle un pionnier du génie mécanique.
Construction
Pour construire le triangle de Reuleaux, on part d'un triangle équilatéral. Depuis chaque sommet pris tour à tour, on décrit un arc de cercle entre les deux autres sommets. Les trois arcs raccordés forment ce qu'on appele le « triangle de Reuleaux ».
Un théorème dû à Henri Léon Lebesgue et Wilhelm Blaschke (1885-1962) établit que cette courbe possède, parmi les courbes d'égale largeur, une surface minimale.
On peut généraliser la construction de Reuleaux aux polygones ayant un nombre de côtés impair : on obtient ainsi des polygones curvilignes de largeur constante, les polygones de Reuleaux.
Comme tous les diamètres ont même longueur, le triangle de Reuleaux – et en fait, tout polygone de Reuleaux – répond à la question suivante, posée par l'association Mensa : « Quelle forme doit avoir une Plaque d'égout pour ne pas tomber dans le regard de visite ? » La réponse la plus simple est le Cercle.
Mais le plus souvent, on associe le triangle de Reuleaux au compresseur rotatif du Moteur Wankel.
Le tétraèdre de Reuleaux
L'intersection de sphères de rayon commun
s, et dont les centres sont au sommet d'un
Tétraèdre de côté
s s'appelle
tétraèdre de Reuleaux.
Contrairement à l'intuition, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas de largeur constante : le diamètre de ce solide, c'est-à-dire la distance entre deux points situés au milieu de deux arêtes opposées, est supérieure à la distance séparant deux sommets, quoique de peu :
d
––
s | = | √
| ––
3
| - | √2
–––
2 | ≈ 1,0249 |
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